谈理想气体状态方程解的合理性:理想气体状态方程三个

  中图分类号:G718 文献标识码: C 文章编号:1672-1578(2012)09-0255-01  运用理想气体状态方程解答热力学问题时,有时需要列出二次方程求解,这时就需要考虑方程解的合理性。《中学物理教学参考》中“如何判断理想气体状态方程解的合理性”一文(以下简称“文献[1]”)总结了如何判断解的合理性的若干方法,其中有一例如下:
  一根直角形细玻璃管,两管长均为100cm,其中一端封闭,各注入10cm长的水银柱,闭合管水平放置,另一管竖直(图1), 设大气压强为 75cmHg高,现将玻璃管顺时针方向转过90°角(图2),求闭合管内空气柱的长度。
  经列方程求解不难得出下管水银柱长度X1=10cm,X2=15cm两种可能,即空气柱的长度为90cm、85cm两种情况。此时要考虑解的合理性,由于空气柱长度取决于水银柱产生的总压强,原作者认为:在玻璃管旋转的过程中,水银的流动情况为,当θ45°时,水银向上管流动。再根据数学方法求得,当θ=45°时,水银柱产生的总压强具有最大值,即总压强为:
  P=10(sinθ+cosθ)=10■(cmHg)
  因而,X2=15cm不符合状态参量X应在[10~14.14]之间变化的原则,所以应该舍去,即只能取X=10cm,最终得出空气柱长度只能为90cm的结论。
  笔者对此判断方法持有不同的意见,笔者曾利用计算机辅助模拟的方法对该题进行了数据运算处理,还通过实验对该题进行了验证。
  1 计算机模拟
  根据条件,假设只顺时针转过θ角,此时理想气体应满足状态方程。
  初态 P1=(75+10)cmHg=85cmHg
  V1=(100-10)S=90S
  未态 P2=[75+(20-x)cosθ+xsinθ] cmHg
  V2=(100-x)S
  由玻-马定律P1V1=P2V2得:
  85×90=[75+(20-x)cosθ+xsinθ](100-x)
  1.1通过计算机的语言(C语言)对该方程进行数据模拟
  模拟思想:首先,将角度θ作为自变量,而水银柱长度X作为应变量。其次,使θ角由0°~90°变化,取变化幅度为0.50。再次,编写计算机语言源程序,经连接、编译、执行后,得出一系列关于θ、X的数据。最后,由计算机根据这些数据模拟出下管水银柱的长度X与角度θ的变化情况的曲线。
  数据模拟结果、数据分析(由于篇幅所限,只取部分数据)
  θ=0° X1=10.00 X2=-165.00
  θ=25° X1=12.26 X2=-260.27
  θ=35° X1=13.21 X2=-438.91
  θ=45° X1=14.14 X2=1669795072.00
  θ=55° X1=15.19 X2=287.31
  θ=65° X1=16.20 X2=108.73
  θ=75° X1=17.07 X2=50.46
  θ=80° X1=17.31 X2=34.05
  θ=81° X1=17.32 X2=31.31
  θ=82° X1=17.31 X2=28.71
  θ=85° X1=17.14 X2=21.56
  θ=89° X1=15.96 X2=12.66
  θ=90° X1=15.00 X2=10.00
  由这些数据可明显的看出:当θ转过角度约为81°时,下管水银柱有最大值X约为17.32cm,同时由水银在管内流动的连续性可以看出,X的值不可能发生从15点几到10的突变,因而不难看出:X 的最终取值,即X=10cm是不正确的。
  1.2模拟图像
  该过程通过编程(源程序略)使计算机自动对模拟数据进行图像化处理的过程,
  得出的图像如下:
  由图像也可以看出X应取15cm。该题的最终答案应该是空气柱的长度为85 cm,而不是90cm。
  2 实验模拟
  在实验室进行该实验时,发现其可操作性不强。因为在实验过程中无法保证如图1放置时:X1=X2=10cm,空气柱长度L=90cm的理想状态,必然导致引入较大的误差,从而导致在最后取值的错误。笔者经研究后用直角玻璃导管和橡皮导管相结合的方法,实现了如图1所示的原始状态,方法如下:
  (1)用橡皮导管接直角玻璃管的一端。
  (2)将玻璃管封闭端与水平成45°角放置,从直角玻璃管的另一端缓缓流入水银,使X1=X2=10cm。
  (3)用铁夹夹住橡皮管缓缓旋转玻璃管,同时,及时挤压橡皮管中的空气,使水银柱保持X1=X2=10cm。此时空气柱长度可能不等于90cm。这时,必须用2~3个铁夹对其进行充、放气,多次调节可得到如图1所示的原始状态。
  (4)对该实验进行验证性研究。将玻璃管按照顺时针方向旋转时,空气柱的最终长度为85cm,而不是文献中所说的90cm。
  笔者通过对该题进行计算机模拟及实验验证后发现,文献[1]中分析不当的原因在于,他认为:当θ=45°时,管中的水银流向要发生改变,导致结论不正确。无论是从计算机模拟的处理数据、模拟图像还是从实际的实验现象中均可以看出:当θ约等于810时,水银的流动方向才发生改变,而此时X约为17.32 cm,然后随着θ角的增加,X才逐渐减小,直到X=15cm。因而该题的正确解是:空气柱长L=85cm。
  参考文献:
  [1]刘海生.如何判断理想气体状态方程解的合理性[J].中学物理教学参考,1996.1.

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