开头语：“直线与圆的方程”和“圆锥曲线”，是江苏高考数学学科的必考内容，也是非常重要的内容。自2008年江苏高考以来，每年高考试卷中，它们都会出现，所占的分值多则21分，少则15分，应该说对于整个数学学科的总分高低，起着关键的作用。
【背景材料】
2008～2012年江苏高考试卷，在此就不详细进行试题列举
【例1】（08江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过Pa2c，0作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为.
解析设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故a2c=2a，解得e=ca=22.
【例2】（09江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.
解析直线A1B2的方程为：x-a+yb=1；
直线B1F的方程为：xc+y-b=1。二者联立解得：T2aca-c，b（a+c）a-c，
则Maca-c，b（a+c）2（a-c）在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，
c2（a-c）2+（a+c）24（a-c）2=1，c2+10ac-3a2=0，e2+10e-3=0，
解得：e=27-5
【例3】（10江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线x24-y212=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是 .
解析MFd=e=42=2，d为点M到右准线x=1的距离，d=2，MF=4，
【例4】（10江苏）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y20，y20，得m=210，
此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）。
若x1≠x2，则m≠210，直线MD的斜率kMD=40m80+m2240-3m280+m2-1=10m40-m2，直线ND的斜率kND=-20m20+m23m2-6020+m2-1=10m40-m2，得kMD=kND，所以直线MN过D点.
因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）.
【例5】（12江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.
（i） 若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜率；
（ii） 求证：PF1+PF2是定值.
解析（1） 由题设知，a2=b2+c2，e=ca，由点（1，e）在椭圆上，得
12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1，∴c2=a2-1.
由点e，32在椭圆上，得
e2a2+322b2=1c2a4+3221=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2
∴椭圆的方程为x22+y2=1.
（2） 由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），
又∵AF1∥BF2， ∴设AF1、BF2的方程分别为my=x+1，my=x-1，A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0.
∴x212+y21=1
my1=x1+1（m2+2）y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.
∴AF1=（x1+1）2+（y1-0）2
=（my1）2+y21
=m2+1·m+2m2+2m2+2
=2（m2+1）+mm2+1m2+2①
同理，BF2=2（m2+1）-mm2+1m2+2②
（i） 由①②得，AF1-BF2=2mm2+1m2+2.
解2mm2+1m2+2=62得m2=2.
∵注意到m>0，∴m=2.∴直线AF1的斜率为1m=22.
（ii） 证明：∵AF1∥BF2，∴PBPF1=BF2AF1，即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.∴PF1=AF1AF1+BF2BF1.
由点B在椭圆上知，BF1+BF2=22，∴PF1=AF1AF1+BF222-BF2.
同理PF2=BF2AF1+BF222-AF1.
∴PF1+PF2=AF1AF1+BF222-BF2+BF2AF1+BF222-AF1=22-2AF1·BF2AF1+BF2
由①②得，AF1+BF2=22（m2+1）m2+2，
AF1·BF2=m2+1m2+2，∴PF1+PF2=22-22=322.
∴PF1+PF1是定值.
【命题分析】
“直线与方程”和“圆锥曲线”的内容在填空题与解答题中均有可能出现。如果在填空题中，基本上都是较为简单的有关基本概念的考查，比如说：弦长的计算，离心率，长轴，短轴，圆锥曲线的第二定义等等，难度不会太大；如果在解答题中出现，则较可能是作为难题，或者说是压轴题。而近几年，解答题中考查的内容，更多的出现了有关圆锥曲线里的定值问题。2010年，2012年都考到了。也许这种问题会成为考查的热点问题。下面，我们就再举一个例子来看看定值问题的求解。
【试题设计】给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），称圆心在坐标原点O，半径为a2+b2的圆是椭圆C的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为F2（2，0），其短轴上的一个端点到F2距离为3.
（1） 求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2） 若过点P（0，m）（m<0）的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，求m的值；
（3） 过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由.
解析（1） 由题意得：a=3，半焦距c=2，
则b=1，椭圆C方程为x23+y2=1，
“伴随圆”方程为x2+y2=4。
（2） 则设过点P且与椭圆有一个交点的直线为：y=kx+m，
则y=kx+m，
x23+y2=1，整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0，
所以Δ=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2①
又因为直线截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，
则有222-|m|k2+12=22，化简得m2=2（k2+1）②
联立①②解得，k2=1，m2=4，
所以k=±1，m=-2（∵m<0），则P（0，-2）。
（3） 当l1，l2都有斜率时，设点Q（x0，y0），其中x20+y20=4，
设经过点Q（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x0）+y0，
由y=kx+（y0-kx0），
x23+y2=1，消去y得到x2+3[kx+（y0-kx0）]2-3=0
即（1+3k2）x2+6k（y0-kx0）x+3（y0-kx0）2-3=0，
Δ=[6k（y0-kx0）]2-4·（1+3k2）[3（y0-kx0）2-3]=0，
经过化简得到：（3-x20）k2+2x0y0k+1-y20=0
因为x20+y20=4，所以有（3-x20）k2+2x0y0k+（x20-3）=0，
设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，
所以k1，k2满足方程（3-x20）k2+2x0y0k+（x20-3）=0，
因而k1·k2=-1，即直线l1，l2的斜率之积是为定值-1.
牛刀小试
1.已知过P12，1的直线l与圆C：（x-1）2+y2=4交于A，B两点，当∠ACD最小时，直线l的方程为.
2.已知中心在坐标原