学生建构平行与相交的概念远不像当初他们辨别长方体、正方体、圆柱体那样来得顺利，这是因为学生的周边生活中充斥着“体”，帮助他们积累了大量的“体验性经验”。而对于“两条永不相交的直线”，他们既无法通过现象来观察、验证，又缺少外显操作活动来感知、参与的“实践性经验”，无疑给学生建立概念带来了不小的困难。
关注概念教学中的关键要素，就是触摸学生建构概念时认知深处最为柔软的地带。那么《平行与相交》的教学中，哪些才是学生不易理解或是容易混淆的关键要素呢？
关键要素一：没有交点就不是相交，画得不一样长就不平行
下图中两条直线的位置关系如何？对相当多的学生而言都存在严重挑战。
[图1][图2]
辨清图1中两条直线为什么是相交的？图2中两条直线为什么是平行的？对学生的认知而言，两者的障碍是相同的，都是由视觉经验与认知经验的冲突所引起的。明明没有碰到的两条线，为什么说是相交的呢？这是图1带给学生的困惑。如果两条直线相互平行，在学生的想象中应该是对等的，“模样儿”要长得一样才对。图2在视觉上恰恰超出了学生的固有认知经验。解决这一问题的常见方法，不外乎两种：孔子的“启发式”和苏格拉底的“产婆术”。以图1为例，“启发式”通常会这样处理：
师：图1中的两条直线相交吗？
生：不相交，因为两条直线隔开了。
师：请注意黑板上画的是两条直线，而直线有什么特点呢？
生：直线可以无限延长。
师：我们现在就把这两条直线都延长（演示），看，相交了么？
生：相交了。
师：现在告诉我，这两条直线怎样？
生：相交。
图2如何让学生理解两条直线是平行的呢？“产婆术”的教学法会这样处理：
师：图2中的两条直线平行吗？
生：不平行，因为一条线长，而另一条线短短的。
师：如果要把它们变成平行线，有什么办法吗？
生：可以把这条短的线画长些（操作演示）。
师：现在看上去一样长了，它还是原来的那条线么？
生：是的。
师：那还可以继续延长么？
生：可以（操作演示）。
师：现在看上去反而比另一条直线长了，它们还平行么？
生：（笑了）不延长这条直线，它们也是平行的。
从学生认知图式的形成来看，“启发式”采用的是“同化”的方式，让学生将新经验“同化到一个适当的心理意向之中”，成为他们认知结构的一部分；“产婆术”采用的则是“顺应”的方式，当学生的既有认知图式无法同化新经验时，教学则促进学生主动修改原有的图式，以符合新环境的要求。“顺应”对学生学习的积极意义在于，个体的心理状态会因为失衡而产生一种内驱力，促使个体进行调整，而在适应环境时心理上连续地交替出现平衡与失衡的状态，可以扩大、提升学习者的图式结构。
关键要素二：画平行线就是“合、靠、移、画”
画平行线，既是发展学生动作技能的需要，亦是深化学生对平行线概念认知的过程。但平行线的画法对学生而言比较难以掌握，其原因有二：一是学生在这之前“数学地画图”只是局限于线段、射线和直线，尚没有形成基本的画图技能；二是教材中只提供了“怎么画”，却没有说明“为什么这么画”（事实上，由于教材将“垂直”的概念安排在“平行”之后，故而也无法说明），老师大都也无法澄清，只好别出心裁地总结出所谓画平行线的“四字要诀”：合（三角尺与已知直线重合）、靠（用直尺靠上三角尺一边）、移（移动三角尺）、画（沿三角尺的边画出平行线）。这种不带“心智活动”参与的手工作业，从本质上看算不上是数学活动。尽管画的是数学图形，但这与“照葫芦画瓢”并无实质上的区别。可以这样推测，学生一旦忘了这所谓的“四字要诀”，就再也不会画平行线了。
其实，画平行线说起来更是木匠的拿手活儿，他们用一块直角板，沿木板的一边上下移动，可以作出很多组平行线。道理很简单，他们利用的是“垂直于同一直线的两条直线互相平行”这一原理。教学中如果不是将“垂直”作为先行概念，我们就得另辟蹊径。
请看下面的教学片段：
师：如果要我们自己来画一组平行线，你觉得难在哪儿？
生：容易画斜了，只要手一抖，线就不直了。
生：容易画偏了，两条线间的距离就会不一样长了。
师：是啊，要解决这些问题，我们能想到什么好办法吗？
生：我们可以借助作业本上的格子来画。
生：可以利用直尺的两条边来画。
生：书本的这两条边也是平行的，我们可以靠着边来画。
师：对，这些都是借助不动的两条边来画平行线的。
生：我还可以用三角板来画。
师：请到前面来，把你的画法介绍给大家。
生（演示）：像这样，只要把三角板上下移动，就能画出平行线了。
师：对于她的方法，你们如何评价？
生：我觉得虽然她移动时很小心，但还是容易画偏了。
生：这只是看起来好像平行，但不能保证。
生：我有办法（学生走到讲台前），只要在三角尺的旁边加一个直尺固定住，这样移动就不会歪了。
师：为什么呢？
生：因为这样就把三角尺固定住了，移动时，两条线之间的距离就不再一会儿大一会儿小了。
师：直尺可以换成三角尺吗？或者换成其他物体吗？
生：换什么都行，只要物体的边是直的就可以。
师：大家同意这样的看法吗？让我们都用这种方法来尝试画一组平行线吧。
……
这样处理，“平行”概念的核心要素被凸显出来了。所谓的“合、靠、移、画”其实只是凸显核心要素的辅助措施，确保“两条直线间的距离处处相等”才是问题的关键。教学只有摆正了因果关系，画平行线才可能内化成为学生“知性的技能”。
关键要素三：如刺在喉的“同一平面内” 学生原本并不会想到平行线会在“不同的平面内”，这也是由他们的经验所决定的。只有到了高中开始学习立体几何，或许才会意识到这一问题。小学阶段在平行线的定义中加上“在同一平面内”，看起来多少有点儿画蛇添足的味道，实在是苦于完整表达概念的需要。这给原本不是问题的教学带来了“问题”。
若是直接提问：“你们对‘在同一平面内’是怎么理解的？”我们多半不能得到满意的答案。如何引导才会达到理想的教学效果呢？笔者听课中归纳出的有效方法大致有以下几种：
就地取材：引导学生看看教室顶面与墙相交的一条直线，再看看地面与墙相交的一条直线，它们既不相交也不平行，因为它们不在同一平面内。
观察图片：下图中的两座立交桥相交吗？平行吗？
自制教具：较为典型的两种教具一个是长方体，一个是“魔方”。无论是长方体框架模型还是长方体实物，都能让学生清楚地看出异面上的两条直线是不平行的。
动态模型似乎更为形象，教者借助“魔方”的特性，先在同一个面上画上两条直线，然后旋转“魔方”，两条直线自然就不在同一平面了。
这样的安排带了些许神秘色彩，吻合了学生的认知特点，在满足学生的好奇心的同时，也达到预期的教学效果。
上面对“平行与相交”教学中关键事件的扫描，都是基于对现行教材中教学内容及呈现方式的分析。我国的教材，都先安排教学“平行与相交”，接着教学“垂直”（沪教版教材除外）。这样安排的优点是，先确定好一个平面上的两条直线的位置关系，再讨论相交中的特殊情况——垂直，由一般到特殊，从编排体系上看似乎更规整一些。但是，这也给教学带来了困难。正如前文所分析的：第一，永不相交是一个无限量，并且不可验证，超越了学生的生活经验。第二，介绍平行线的画法时，只能介绍怎么画，而无法讲清楚为什么这么画。事实上，教材所介绍的用三角板靠着直尺平移的方法，就是利用了“两条直线同时垂直于一条直线”的原理。利用直尺的两边画平行线和利用田字格上的线画平行线，实质上利用了“平行线之间的距离处处相等”这一性质，直线间的距离显然还是以“垂直”为前提的。这样一分析，似乎应该先教学“垂直”更为合理。张奠宙院士曾对国外的小学数学教材中关于平行线的处理方式进行过研究，发现德国、日本、俄罗斯等国的教材，都采用了较为趋同的办法，就是先让学生认识“垂直”，然后再学习“平行”，这样就用“垂直于同一条直线的两条直线是平行的”来定义平行线。用垂直定义平行，优点显而易见。但会不会有新的问题产生，如学生对同一平面内两条直线的位置关系容易受到先行概念“垂直”的干扰？还有，用定理的表述方式来定义平行，虽然逻辑性较强，是否会给低年级的学生带来理解上的困难？如此等等，尚有待作出更为深入的研究。