宋丽飞
艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643-1727）是英国著名的物理学家、数学家，曾担任英国皇家学会会长. 牛顿在科学上的主要成就有三个：发明微积分、建立经典力学体系、提出光的性质的理论.下面简要介绍一下牛顿的一些数学成就.
一、《流数简论》
由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分.不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才给出.
二、《运用无穷多项方程的分析学》（下简称《分析学》）
在《分析学》中，牛顿假定曲线下的面积为z=ax，其中m是有理数.他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示.由曲线、x轴、y轴及x+o处纵坐标所围成的面积用z+oy表示（图3），其中oy是面积的瞬，于是有z+oy=a（x+o）.
牛顿还给出下面的法则：函数之和的积分等于各函数的积分的和，即∫[f（x）+f（x）+…+f（x）]dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx+…+∫f（x）dx.
牛顿把曲线下的面积看作无穷多个无限小面积之和，这种观念与现代的观念是比较接近的.为了求某一个区间的面积，即定积分，牛顿提出如下方法：先求
到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法.不过他在概念上仍有不清楚的地方.第一，他的无穷小增量o是不是0？牛顿认为不是.既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给出合乎逻辑的论证.第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度.牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念.他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证.”牛顿的态度是实事求是的.
三、《流数法和无穷级数》（下简称《流数法》）
这是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作.在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论.
牛顿在提出的“连续”思想以及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了以下两类基本问题.
第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分. 牛顿在书中引入了代换积分法（采用现代符号）：设u=φ（x），则∫f（（x））φ′（x）dx=∫f（u）du（1）.这个公式表明，只要所求的积分可表为（1）左边的形式，则令u=φ（x），即可化为f（u）对u的积分，积分后再用φ（x）代u就行了.《流数简论》中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才总结出具体的公式.从《简论》及《流数法》两书来看，他推导此式的思路大致如下：
设y=∫f（φ（x））φ′（x）dx，
则y=∫f（φ（x））φ′（x）.（2）
由微积分基本定理，得y=∫f（u）du，所以∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（u）du.
牛顿还推出分不定积分公式，即∫uv′-dx=uv- ∫vu′dx.其中u和v都是x的函数.若求∫uv′-dx有困难而求∫vu′dx比较容易时，就可利用分不定积分公式求积分.
至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法，他当时将其统称为流数法.他充分认识到这种方法的意义，说流数法（即微积分）是一种“普遍方法”，它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题.”《流数法》一书中对微积分的用途作了详细介绍，下面略举几例.
例1.求方程x-ax+axy-y=0中x的最大值.
牛顿先求出x和y的流数之比，
即3y=ax.把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了.
牛顿给出了通过解方程f′（x）=0来求f（x）极值的方法.他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流数还是较小的，并且即将变大;反之，如果减少，则情况恰好相反.所以求出它的流数，并且令这个流数等于0.”他用这种方法解出了九个问题.其他问题，则需采用上述方法求解.
例2.已知曲线方程为x-ax+axyy=0，AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标，求作过D点的切线（图4）.
牛顿说：“给定D点后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的长度也就确定了，由此可确定切线TD.”
相比较《分析学》《流数法》在数学思想上有了创新，而且提供了更加有效的计算方法.但牛顿的基本方法仍是舍去无穷小，因而同《分析学》一样出现了逻辑问题.他尝试建立没有无穷小的微积分，于是就有了《曲线求积术》.
四、牛顿的极限理论
牛顿的四部微积分专著中，《曲线求积术》（下简称《求积术》）是最后写成（1693）的，但却是最早出版（1704）的一部.在书中，牛顿给出了导数概念，而且把考察对象由两个变量构成的方程轉向关于一个变量的函数.牛顿的流数演算已相当熟练了，他算出许多复杂图形的面积.
实际上，早在《自然哲学的数学原理》（下简称《原理》）一书中，牛顿就明确地定义了极限思想.他说：“严格地说，消失量的最后比并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限.它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它.”在这部最早发表的包含微积分成果的书（当然不是最早写成的）中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念.牛顿在《原理》中阐发的极限思想，成为他撰写《求积术》的理论基础.当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义.
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