陈怀庆，张小贝，方习高，吴 琛
(1.上海大学通信与信息工程学院，上海 200444；
2.上海飞机设计研究院综合航电系统设计研究部，上海 201210)
空时自适应处理(space-time adaptive processing, STAP)[1]方法能够有效地抑制雷达杂波并检测动目标，最优STAP权向量由杂波加噪声协方差矩阵(clutter plus noise covariance matrix，CNCM)和目标空时导向向量的逆的乘积构成[2-3]，STAP的性能取决于 CNCM的估计精度，这依赖于大量独立同分布(independent and identically distributed, IID)的样本数据[4]。根据RMB (reed-mallett-brennan)准则[5]，只有当IID训练样本数为系统自由度的两倍时，才能保证STAP系统的性能损失小于3 dB[6-7]。然而，在实际的非平稳和非均匀环境中没有足够多的IID训练样本，这直接削弱了STAP的杂波抑制性能。为了提高STAP系统在有限训练样本条件下的处理性能，研究人员已经开发了许多不同类型的算法，其中降维和降秩方法都能在一定程度上解决训练样本不足的问题，尽管这两类方法都可以在较少训练样本的条件下估计CNCM，但是在非均匀环境下的杂波抑制性能比较有限[8]。直接数据域(D3)STAP方法只使用目标单元中的快照，而不使用训练样本数据，可以避免训练样本的非均匀性，从根本上消除非均匀环境的影响，有效地抑制杂波和离散干扰[9]；
然而，D3方法会造成系统自由度显著降低，从而导致孔径损失。
为解决上述统计类STAP方法的不足之处，研究人员逐步转向了对稀疏恢复(sparse recovery, SR)理论的研究，基于稀疏性的算法被应用于改善STAP算法的收敛性[10]。稀疏恢复技术通过来自过完备字典的最小数量的向量来表示目标信号，可以仅利用少量的观测样本通过稀疏恢复算法来估计原始目标信号特征。一般来说，稀疏字典和SR算法对于获得稀疏恢复解的准确性有着很大的影响，精确的杂波稀疏性估计对于空时自适应处理算法非常重要。常用的SR算法主要有正交匹配追踪算法[11]、FOCUSS算法[12]以及基于贝叶斯学习[13]的稀疏恢复算法等。大多数SR-STAP方法通过离散化角度-多普勒平面来建立稀疏字典，这带来了网格失配问题，即杂波分量不再位于字典网格上，导致稀疏恢复性能下降。为解决网格失配问题，文献[14]提出一种基于先验知识的稀疏字典重构方法，该方法利用系统参数获取杂波脊线的分布位置，然后以杂波脊方向为轴构造字典网格以克服网格失配问题，但是仅适合于正侧阵雷达工作环境。文献[15]根据雷达系统参数的先验知识和杂波脊的时空分布，设计了一个具有非均匀分布元素的自适应过完备字典，通过加大杂波脊分布区域字典的网格密度以提高系统的恢复性能，但是构造密集的稀疏字典加重了系统的运算负担。文献[16]提出了参数搜索正交匹配追踪算法，该方法虽然可以在一定程度上提高杂波角度-多普勒剖面的估计精度，但依旧无法彻底消除网格失配带来的影响。文献[17]提出了一种原子范数最小化方法，将原子范数最小化转化为求解半定规划问题，但是对系统内存和计算量的需求较大，而且当杂波子空间的估计不准确时会降低恢复性能。
目前，针对网格失配问题的研究大多集中于对稀疏恢复算法的优化上，而对稀疏字典优化问题的研究较少，如何设计一个合适的字典来解决网格失配问题是SR-STAP技术的一个重要任务[18]。为此，本文提出一种基于先验信息的SR-STAP字典重构方法。该方法利用雷达系统和机载平台的工作参数计算杂波脊线的分布范围，然后根据多普勒频率和空域频率的比值来调整空域频率的分布间隔，并且沿杂波脊以滑窗的方式非均匀地划分多普勒频率来重构过完备空时字典。
1.1 信号模型及STAP基础
图1为一个M行N列的机载相控阵雷达天线与地面的几何模型，其中飞行方向为X轴，θ为方位角，φ为俯仰角，θp为天线平面与飞行速度V方向的夹角，H为载机平台垂直高度，R为杂波块P与雷达天线间的直线距离。除此之外，设定雷达的工作波长为λ，阵元间距为d，恒定脉冲重复频率为fr，并且在一个相干处理间隔内发送K个脉冲。
图1 雷达天线阵列与地面的几何模型Fig.1 Geometric model of radar antenna array and ground
忽略距离模糊性的影响，机载雷达接收到第l个距离门单元的回波数据可以表示为[19]：
(1)
式(1)中，xc和n分别表示杂波和噪声分量，Nc表示杂波块数量，σp、Sd和Ss分别表示为杂波块复幅度、时域以及空域导向矢量。υ(Sd,Ss)表示为空时导向矢量，并且与Sd、Ss有以下关系：
υ(Sd,Ss)=Sd⊗Ss，
(2)
且有
Sd=[1,ej2πfd,…,ej(K-1)2πfd]T，
(3)
Ss=[1,ej2πfs,…,ej(K-1)2πfs]T，
(4)
其中，归一化多普勒频率fd和空域频率fs可以表示为：
(5)
(6)
将多普勒频率fd和空域频率fs的比值称为折叠系数(杂波脊斜率)，可以用β表示为：
(7)
通常情况下，杂波被认为是独立且不相关的。杂波的空时统计特性一般可以用杂波协方差矩阵(clutter covariance matrix, CCM)表示[20]，其可以通过下式得到：
(8)
式(8)中，Rc为杂波协方差矩阵，Rn为噪声分量。在实际环境中，往往不能准确地获取协方差矩阵R，通常是由IID训练样本估计所得：
(9)
式(9)中，L代表IID样本数，根据线性约束最小方差准则，STAP权矢量可通过求解下列数学优化问题获得[19-21]：
(10)
1.2 SR-STAP原理
现实环境中的CCM通常是未知的，需要利用待检测单元附近的训练样本进行估计，且根据RMB准则，当IID训练样本数量是自由度的两倍时，STAP系统的性能损失才小于3 dB。在复杂环境中，很难获得足够的样本来准确估计CCM。随着稀疏恢复理论在STAP场景下的应用，使得在有限训练样本条件下精确估计CCM成为了可能。
与传统STAP方法相比，SR-STAP可以利用少量的观测样本来高分辨恢复杂波的空时谱，从而精确地估计CCM。根据杂波在空时二维平面上分布的稀疏性，首先将空时二维平面均匀离散成Nd=ρdK，Ns=ρsN个量化单元(ρd和ρs代表空时平面的离散系数，通常有ρd，ρs≫1)。这样式(1)中的回波数据重新表示成[22]：
x=Φα+n。
(11)
在式(11)中，Φ是由空时导引矢量组成的KN×NdNs维过完备字典；
α为观测数据x的稀疏系数，对应着杂波的空时谱。根据SR理论，可以通过下式来求解α：
(12)
式(12)中，‖·‖0和‖·‖2分别为l0、l2范数，ε为噪声对应的误差阈值。上式的求解属于NP-Hard问题，当α足够稀疏时，可以通过利用凸优化或者FOCUSS等方法来近似求解，考虑到凸优化算法计算量大的问题，本文采用FOCUSS算法把式(12)转化为以下约束优化问题并求解[23]：
(13)
P=α⊙α*，
(14)
(15)
1.3 网格失配问题
传统SR-STAP算法在构建稀疏字典时，以ρd和ρs分别作为多普勒频率轴和空域频率轴的离散系数，通过对空时二维平面内的网格进行均匀过采样以获得过完备字典。现有大多数的SR-STAP方法都是假设杂波脊恰好落在过完备字典的网格上，即Nd和Ns的比值等于折叠系数β的整数倍时[25]，杂波脊才能沿字典网格分布，如图2(a)中l1所示。然而在实际情况中，折叠系数β往往与Nd和Ns的比值不相关，此时就会出现网格失配问题，即杂波分量脱离字典网格分布。图2(a)中l2和图2(b)分别展示了正侧阵和斜侧阵环境下的杂波离网分布示意图，网格失配会导致杂波能量泄漏，从而使得杂波频谱展宽[26]，严重影响CCM的估计精度，进而导致SR-STAP滤波器的杂波抑制性能降低，因此需要寻找一种新的字典构造方法来解决上述问题。
图2 杂波分布示意图Fig.2 Schematic diagram of clutter distribution
传统空时字典通过将空时二维平面均匀离散化得到，其面临的网格失配问题会严重影响系统的处理性能，为了解决传统字典的网格失配问题，下面将结合算法流程图(图3)来介绍一种基于先验信息的非均匀字典构造方法。
2.1 构造原始字典
如图3中步骤1所示，将空时平面均匀离散成Nd=ρd·K、Ns=ρs·N个网格，离散后的归一化多普勒频率和空域频率集合分别为{fd,i|1≤i≤Nd}、{fs,i|1≤i≤Ns}，其间隔分别为：
(16)
(17)
得到归一化多普勒频率和空域频率集合后，将其带入式(2)—式(4)便可以构造原始字典Ф：
Ф=[υ(Sd,1,Ss,1,…,υ(Sd,Nd,Ss,Ns)]。
(18)
2.2 非均匀调整字典的空时网格
构造原始空时字典后，按照图3中的步骤2—步骤5对原始字典网格进行非均匀调整。首先利用机载平台和雷达系统工作参数等先验信息，并结合式(6)计算fs,i对应的杂波归一化多普勒频率fd′：
(19)
图3 过完备空时字典重构流程图Fig.3 Flow chart of over-complete space-time dictionary reconstruction
由于斜侧阵天线阵列条件下杂波脊线的非线性特性，如果仅用fd′来调整空时字典多普勒频率间隔会出现字典网格过密集或过稀疏的情况。为了避免出现此问题，根据Δβi来调整原始字典的空域频率集合{fs,i}和空域频率间隔Δs：
1)当Δβi>1时，将[fs,i,fs,i+1]均匀离散化为p个小区间:[fs,i,fs,i+1,…,fs,i+p-1]，并更新其对应的空域频率间隔Δs=Δs.i/p。其中p的值取不小于Δβi的最小整数。
2)当Δβi<α时，将[fs,i,fs,i+1]进行合并，此时新的空域频率间隔Δs=2Δs,i。根据经验，α值取0.4时的效果较好[27]。
调整完原始字典的空域频率后，按照式(19)更新其对应的fd′，然后在此基础上，沿杂波脊线取滑窗来调整字典的多普勒频率，当原始空时字典的纵轴多普勒频率位于滑窗范围内时，非均匀地重新调整划分原始字典的fd,i，具体步骤如下：
固定空域频率fs,i，从大到小依次遍历多普勒频率fd,i。
(20)
(21)
把滑窗范围内的多普勒频率替换为更新后的fd,i′，而滑窗范围外的归一化多普勒频率不变。
3)继续遍历fs,i、fd,i并移动滑窗，直至所有范围内的字典网格调整完成。
最后，待所有字典范围内的多普勒频率和空域频率网格调整完成后，将更新后的fs,i和fd,i代入式(18)得到非均匀空时字典Φ′。
对本文所提的空时字典重构方法、传统字典的SR-STAP方法和最优STAP方法进行仿真实验，通过对比、分析实验结果来说明本文方法的有效性。实验所涉及的系统参数信息如表1所示。
表1 系统参数Tab.1 System parameters
3.1 杂波空时功率谱对比
仿真实验1分别在正侧阵和斜侧阵环境下，对三种不同方法所构造的杂波空时功率谱进行了对比分析。其中功率谱采用空时二维Capon谱分析方法，其计算公式为[25]：
(22)
图4为正侧阵环境下最优STAP、传统SR-STAP方法和本文所提方法所构造得到的杂波空时功率谱。图4(a)提供了最优STAP计算的杂波功率谱，在整个角度-多普勒平面内沿着一条斜率为β=0.6的直线均匀连续分布。而在图4(b)中，因为网格失配问题的存在，传统SR-STAP所恢复构造的杂波功率谱不再收敛到杂波脊线上，存在明显的频谱扩展现象，这会降低系统的杂波抑制性能，这一点将在后面的改善因子仿真中得以体现。而本文所提方法借助机载平台和雷达系统工作参数等先验信息重构了SR空时字典，使字典网格能够匹配真实杂波分量的分布，极大抑制了网格失配的影响，图4(c)清晰地展示了该方法重构杂波功率谱的效果，几乎和最优STAP计算的杂波功率谱分布一致。
图4 正侧阵(β=0.6)的杂波空时功率谱Fig.4 Clutter space-time power spectrum of side-looking array(β=0.6)
图5是斜侧阵环境下三种方法得到的杂波空时功率谱。图5(a)首先展示了最优STAP计算的杂波功率谱，理想情况下杂波沿曲线收敛分布。由于斜侧阵下的杂波分布轨迹为一条曲线，其网格失配现象进一步恶化，对于图5(b)所示的传统SR-STAP方法，其功率谱不仅更为发散，而且出现了较多的伪峰。图5(c)中的杂波功率谱虽然也出现了一些波动，但经过字典的非均匀重构后，杂波谱依旧可以较好地收敛到杂波脊上。因此在面临网格失配问题的情况下，本文所提方法的稀疏恢复性能相较于传统SR-STAP方法有着明显的提升。
图5 斜侧阵(θp=30°)的杂波空时功率谱Fig.5 Clutter space-time power spectrum of non-side-looking array(θp=30°)
3.2 CCM特征谱对比
为了进一步说明本文所提方法的优点，仿真实验2展示了三种方法在正侧阵环境下获得CCM的特征谱，特征谱可以从协方差矩阵自由度(大特征值个数)的方面来解释各方法所构造CCM的准确性。根据RMB准则，理想情况下，杂波自由度为Mr=N+β(K-1)=25。根据图6中的仿真实验结果可以很直观地看出，所提方法的特征谱表现出与最优STAP情况相似的形式，在Mr=25附近，特征值急速减小，表明该方法可以准确地估计杂波子空间来计算CCM。而传统的空时字典对应SR-STAP得到的杂波协方差矩阵的大特征值个数明显增加，表明其不能准确地估计杂波子空间，从而会进一步影响系统的杂波抑制性能。
图6 杂波协方差矩阵特征谱Fig.6 Characteristic spectrum of clutter covariance matrix
3.3 系统剩余输出功率对比
在仿真实验3中，分别使用传统SR-STAP方法和本文所提方法对样本数据进行滤波，图7为正侧阵和斜侧阵环境下的距离向剩余输出功率。特别说明，在第256号距离门处都加入了一动目标信号。由实验结果可知，两种方法构成的自适应STAP滤波器都可以检测出待测距离单元的目标信息，但相比于传统SR-STAP方法，本文所提方法的剩余杂波功率较小，体现了更强的杂波抑制和动目标检测能力。
图7 剩余输出功率Fig.7 Residual output power
3.4 系统改善因子对比
为了评估各方法的杂波抑制性能，通常用改善因子作为衡量标准，其公式定义为[19]：
(23)
图8为三种方法系统改善因子的对比图，从中可以看出，本文所提方法的系统改善因子更接近于最优STAP方法，性能损失小于3 dB，这一点符合RMB准则的预期。而由于网格失配问题的存在，导致传统SR-STAP方法不能准确地估计CCM，降低了系统的杂波抑制能力。正侧阵环境下，本文所提方法比传统SR-STAP方法在旁瓣和主瓣处的改善因子分别提升了2.69 dB、12.07 dB；
在斜侧阵中，本文所提方法在旁瓣和主瓣处的改善因子也有着3.24 dB和5.67 dB的提升。由此不难看出，相比较于传统SR-STAP方法，本文所提方法的系统改善因子的旁瓣处损失更小。此外，改善因子位于主瓣处的凹口更窄更深，不仅拥有更好的杂波抑制能力，而且较窄的凹口可以避免主杂波附近的目标信号被抑制。而传统SR-STAP方法由于不能准确地恢复CCM，其系统的处理效果受到了较大的影响，特别是在斜侧阵环境下，传统SR-STAP方法的性能进一步恶化。
图8 系统改善因子Fig.8 System improvement factor
3.5 参数误差对系统性能的影响分析
本文所提方法借助雷达系统和机载平台的工作参数信息重构了稀疏字典，参数的准确性对于该方法的系统性能非常关键。下面以正侧阵为例来分析当式(7)中的参数出现误差时的系统性能。由图9可知，参数误差会对该方法的系统性能造成一定的影响，其主要表现为旁瓣处的系统改善因子会随着参数误差的增大而不断减小，而且主瓣处的凹口也会不断增宽，较宽的凹口不利于系统检测慢速目标。因此，为了使该方法能够更好地抑制杂波，需要获得准确的系统参数信息。
图9 不同参数误差情况下的系统改善因子Fig.9 System improvement factor in the case of different parameter errors
本文提出一种基于先验信息的SR-STAP字典重构方法。该方法利用雷达系统和机载平台的工作参数计算杂波脊线的分布范围，适当地调整空域频率的分布间隔，并以滑窗的方式非均匀地调整原始字典的多普勒频率网格，进而得到重构后的稀疏字典。仿真实验表明，与传统字典的SR-STAP方法相比，本文所提的字典重构方法能够更好地匹配杂波分量的分布，不仅有效地解决了网格失配问题，而且有效改善了系统的杂波抑制和动目标检测能力。但是当重构稀疏字典所用的参数信息存在误差时，该方法的系统性能会受到一定的影响，未来将对此做进一步研究。
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