杭保健，张海仲，赵衍刚，
（1.北京工业大学城市建设学部，北京 100124；
2.神奈川大学工学部建筑学科，日本横滨221-8686）
近一个世纪以来，反应谱理论经过不断的发展和完善，已被广泛应用于工程结构抗震设计中。如今，基于反应谱的设计方法已经成为用于结构抗震设计最主要的方法之一。世界多数抗震规范都是以反应谱的形式来表征地震作用力的。我国抗震规范［1］用加速度反应谱标定了地震影响系数［2-3］。加速度反应谱表示最大加速度响应随自振周期变化的关系，它对应于作用在结构上的惯性力［4-6］，在数值上等于恢复力和粘性力之和。然而，欧美及其他一些国家的抗震规范使用的则是伪加速度反应谱［7］。伪加速度反应谱是在小阻尼比的假设下由加速度反应谱近似得到的［8］，它忽略了粘性力的作用，因此恰好对应于作用在结构上的恢复力。既往研究［9-12］表明，加速度反应谱与伪加速度反应谱在阻尼比相对较小时非常接近，能够互换使用。然而当阻尼比较大时，例如基础隔震系统和附加阻尼结构［13］，两者相差很大，互换使用会带来很大误差。具体地，在大阻尼比情况下，用加速度反应谱代替伪加速度反应谱来估算恢复力会造成设计过于保守，反之用伪加速度反应谱代替加速度反应谱来估算惯性力则会使设计力偏小。为了能够从规定谱得到另一种谱（加速度反应谱或伪加速度反应谱），从而能够同时合理地评价惯性力和恢复力，并且避免构建新的规范反应谱，有必要明确加速度反应谱与伪加速度反应谱的关系。
加速度反应谱与伪加速度反应谱的相关研究已经取得了一些研究成果。Sadek 等［9］、Song 等［11］和Mentrasti［4］分别基于实际地震动记录的统计分析和振动理论探讨了加速度反应谱与伪加速度反应谱的关系。这些研究专注于结构阻尼比ξ和周期T对两个谱之间关系的影响。Papagiannopoulos 等［12］通过分析866条地震加速度时程，发现震级、震中距和场地类别对加速度反应谱与伪加速度反应谱关系也存在影响。然而，这些地震参数具体如何影响两者的关系在其研究中并未讨论。而这些具体的关系对于合理地确立两个谱之间的关系式却是重要的信息。文中旨在通过对大量地震动记录的统计分析，系统地探讨震级、震中距和场地类别对加速度反应谱与伪加速度反应谱关系的影响，并且提出一个考虑这些参数的将这两种谱进行互相转换的表达式。
为了阐明加速度反应谱和伪加速度反应谱的关系，本节从理论定义出发简单地讨论了两个谱和他们的工程应用。对于线性单自由度体系考虑粘滞阻尼并遭受地震动加速度时程的运动方程可以表示为式（1）或式（2），
式中：m、c、k、ξ、ω分别为质量、阻尼系数、刚度、临界阻尼比（ξ=，以下简称为阻尼比）和固有圆频率，分别为相对位移、相对速度和相对加速度响应。由于反应谱对应于单自由度体系响应的最大值，相对位移反应谱Sd、相对速度反应谱Sv和绝对加速度反应谱Sa（以下简称加速度反应谱）分别定义为Sd=|x(t)|max、。
伪加速度反应谱PSa是在小阻尼比假设下对Sa的近似，可表示为，
从Sa的定义可知，Sa对应于结构的惯性力，并且计算结构基底剪力V时需要确定惯性力［5］，所以Sa适合于结构基底剪力V的计算，表示为，
相似地，从PSa的定义可以发现PSa与恢复力对应，并且在确定上层主体结构的地震作用力时需要计算恢复力［4］，所以PSa适用于结构恢复力F的计算，即
图1 不同阻尼比情况下Sa与PSa结果对比Fig.1 Comparison of Sa and PSa with different damping ratios
文中为了分析震级、震中距和场地类别对Sa与PSa关系的影响，从日本K-NET 和KiK-net 台网（https：//www.kyoshin.bosai.go.jp/kyoshin/）选取了大量的实际地震动记录。K-NET 和KiK-net 台网是由日本国家地球科学与灾害预防研究所（NIED）建设和管理的强震动台网，有丰富的地震动记录和翔实的台站场地资料，为探讨震级、震中距和场地类别对Sa与PSa的关系提供了必要的条件。文中选取了338个观测站的8 330条地震动记录，其中每条地震动记录的2 个水平分量（EW 和NS 方向）被选用，共计16 660 条地震加速度时程，选定震级M为4.0～9.0，震中距R为10～200 km，不考虑近场地震的影响，最大加速度大于20 Gal。为简化起见，采用分组的形式进行讨论。根据NEHRP［15］规定的30 m 覆盖土层平均剪切波速将场地分为A、B、C、D、E这5 类。KiK-net 台网观测站的土层剪切波速数据超过30 m，可直接计算30 m 覆盖土层平均剪切波速。K-NET 台网仅提供了至多20 m 覆盖土层剪切波速信息，文中根据现有资料计算了20 m 覆盖土层平均剪切波速。根据Kanno［16］的研究，可通过下式转换为
整理发现A 类场地很少，所以只分析场地B、C、D、E 的情况。在场地分组内，考虑到各组数据数量上的平衡，根据震级分为4.0≤M＜5.5，5.5≤M＜6.5 和M≥6.5，再根据震中距分为10≤R＜50 km，50≤R＜100 km 和100≤R≤200 km。基于场地类别、震级和震中距的共计36组地震动记录分组见表1。
表1 基于震级、震中距和场地类别的地震加速度时程分组Table 1 Seismic acceleration time histories grouping based on magnitude，epicentral distance and site class
续表
根据以上分组，文中对结构周期T=0.01 s～10 s（间隔取0.01 s）、阻尼比ξ=5、10、20、30、40、50%的弹性单自由度体系进行计算，得到Sa与PSa，并对两反应谱取平均值，系统分析了震级、震中距和场地类别对Sa与PSa关系的影响。
3.1 震级的影响
图2～图5分别展示了不同场地类别条件下震级对Sa/PSa的影响，可以得到：（1）Sa/PSa值在4.0≤M＜5.5时最大，在M≥6.5时最小，Sa/PSa值随着震级的增大而减小，即Sa与PSa的差异随着震级的增大而缩小；
（2）随着震级的增大，Sa/PSa值衰减速率变小，即Sa与PSa的差异在小震级时对周期的变化更为敏感；
（3）任意场地类别、震中距情况下的Sa/PSa值趋势相同，且不同场地类别下的Sa/PSa值差异很小，可知震级相对于震中距和场地类别起主导作用。从图中还可以观察到与以往研究相似的结果，具体体现为：Sa/PSa值在ξ=10%时最小，在ξ=50%时最大，Sa/PSa值随着阻尼比的增大而增大，即Sa与PSa的差异随着阻尼比的增大而增大；
Sa/PSa值随着周期的增大而增大，即Sa与PSa的差异随着周期的增大而增大。50≤R＜100 km、100≤R≤200 km的对比结果与上述结论相同，限于篇幅原因不再赘述。
图2 B类场地不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.2 Sa/PSa values of site class B with different damping ratios
图3 C类场地不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.3 Sa/PSa values of site class C with different damping ratios
图4 D类场地不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.4 Sa/PSa values of site class D with different damping ratios
图5 E类场地不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.5 Sa/PSa values of site class E with different damping ratios
3.2 场地类别的影响
图6～图8 分别展示了不同震级条件下场地类别对Sa/PSa的影响，可以得到：（1）在4.0≤M＜5.5 的情况下，场地E的Sa/PSa值最小，且明显低于其他场地；
在T＜8 s时，Sa/PSa值在场地B条件下最大，其次为场地C和D；
在T=8～10 s 时，场地C 的Sa/PSa值最大。（2）在5.5≤M＜6.5 的情况下，任意阻尼比情况下，场地E 的Sa/PSa值最小；
场地C 和场地D 的Sa/PSa值基本相同；
场地B 的Sa/PSa值在短周期时明显高于其它场地条件，在长周期时与场地C、D 情况下相当。（3）在M≥6.5 的情况下，除场地E 外，Sa/PSa值在场地B 条件下最大，在场地C条件下次之，在场地D条件下最小；
场地E的Sa/PSa值随着周期的增大而增大，在T=10 s时达到最大，且增长速率明显高于其他场地情况。
图6 4.0≤M＜5.5时不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.6 Sa/PSa values of 4.0≤M＜5.5 with different damping ratios
图7 5.5≤M＜6.5时不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.7 Sa/PSa values of 5.5≤M＜6.5 with different damping ratios
图8 M≥6.5时不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.8 Sa/PSa values of M≥6.5 with different damping ratios
3.3 震中距的影响
图9～图12分别展示了不同场地类别条件下震中距对Sa/PSa的影响，可以得到：（1）对于场地B，10≤R＜50 km条件下的Sa/PSa值在长周期段最小，且明显低于震中距为50≤R＜100 km 和100≤R≤200 km 的情况；
对于场地C、D、E，Sa/PSa值在不同震中距情况下的差异不明显。（2）与震级和场地类别相比，震中距对Sa与PSa关系的作用很小，可不考虑震中距的影响。
图9 B类场地不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.9 Sa/PSa values of site class B with different damping ratios
图10 C类场地不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.10 Sa/PSa values of site class C with different damping ratios
图11 D类场地不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.11 Sa/PSa values of site class D with different damping ratios
图12 E类场地不同阻尼比情况下的Sa/PSa值Fig.12 Sa/PSa values of site class E with different damping ratios
3.4 阻尼比和周期影响的理论分析
通过上述震级、场地类别和震中距对Sa/PSa的分析，可以证实阻尼比和周期对Sa/PSa存在影响。本节从理论上分析了阻尼比和周期对Sa/PSa的影响。根据式（2）、式（3）以及Sd、Sa的定义，Sa/PSa可表示为，
设tx为相对位移反应x(t)达到最大值的时刻，这一时刻x(t)的一阶导数为0，则有|x(t)|max=|x(tx)|、=0，由于全局最大值必然大于或等于某一时刻的值，所以将其代入式（6）的分子可得，因此≥1，从而PSa总是小于等于Sa，当阻尼比为0 时等号成立。
根据不等式性质，式（7）可表示为：
结合Sd、Sv和伪速度反应谱PSv的定义，引入系数δ使得上式等号成立，式（8）可表示为：
式中0＜δ≤1，PSv=ω·Sd。
令β=，上式可表示为，
式中β是关于阻尼比和周期的函数，且β＞0。
文中计算了16 660 条地震加速度时程在不同阻尼比情况下的β值，结果均显示β随周期和阻尼比增大而增大的趋势。图13 为16 660 条地震加速度时程在阻尼比为10%、30%和50%情况下β的平均值，从图中可看出β随周期和阻尼比的增大而增大。结合式（9）可知，Sa/PSa与周期和阻尼比呈正相关，即Sa与PSa的差异随着阻尼比和周期的增大而呈增大趋势。
图13 16 660条地震加速度时程在不同阻尼比情况下的β的平均值Fig.13 Average values of 16 660 seismic acceleration time histories β under different damping ratios
本节建立了考虑以上参数的Sa与PSa互相转换的数学表达式，由前面分析可知，震级对Sa与PSa关系的影响最为显著，场地类别次之，震中距的影响很小。为简化起见，不考虑震中距对Sa与PSa关系的影响。使用MATLAB 软件对同一震级和场地类别情况下的Sa与PSa均值之比进行非线性回归分析，通过尝试大量函数形式确定的Sa/PSa经验公式为：
式中，ξ、T分别为结构阻尼比和周期，a、b、c为回归参数。表2 为利用非线性最小二乘法原理，使用MATLAB软件求出的对应于12组情况的回归参数以及拟合优度R2。当阻尼比为0时，上式等于1，符合在小阻尼比情况时Sa与PSa相等的边界条件。
表2 非线性回归分析参数Table 2 Parameters of nonlinear regression analysis
图14（a）～（c）分别为场地B、C、D，不同震级情况下的实际地震动记录与拟合曲线之间的对比。可以看出，拟合曲线与实际地震动记录吻合较好，所提经验公式可以很好地反映Sa与PSa之间的关系。其他的结果与图14相似，限于篇幅原因不再赘述。
图14 实际地震动记录与拟合曲线的Sa/PSa值对比Fig.14 Comparison of Sa/PSa values between actual ground motion records and fitting curves
最后，文中通过与以上实际地震动记录结果对比，对现有Sa与PSa的转换式进行了检验，其代表性结果如图15 所示。Sadek 等［9］，Song 等［11］和Mentrasti［4］所提转换式均只与阻尼比和周期有关，对于不同的震级和场地类别，Sa/PSa的值不变。Papagiannopoulos 等［12］给出了一个统一的经验公式，按照震级、震中距和场地类别的不同分组给出了回归参数的值，图中是其震级分别为6.6～6.6，6.7～7.3，7.4～8.0的结果。文中选取了阻尼比为30%，场地类别为C，震级为4.0≤M＜5.5，5.5≤M＜6.5，M≥6.5的实际地震动记录作为对比。可以发现，现有转换式均与实际地震动记录偏差较多，不能较好的反映Sa与PSa之间的关系。
图15 现有Sa/PSa转换式与实际地震动记录的对比Fig.15 Comparison between existing Sa/PSa transformation and actual ground motion records
文中通过分析16 660条地震加速度时程，对结构周期范围T=0.01 s～10 s间隔取0.01 s，阻尼比为5、10、20、30、40、50%的单自由度结构体系的反应谱进行计算，系统分析了震级、震中距和场地类别对加速度反应谱和伪加速度反应谱关系的影响，提出了两者互相转换的经验公式。文中的主要结论归纳如下：
（1）加速度反应谱与伪加速度反应谱的差异随着结构阻尼比和周期的增大而呈增大趋势。
（2）震级对加速度反应谱与伪加速度反应谱关系有显著影响。在任意阻尼比下，加速度反应谱和伪加速度反应谱的差异随着震级的增大而缩小，且在小震级时对周期的变化更为敏感。
（3）场地类别对加速度反应谱和伪加速度反应谱关系的影响弱于震级且受震级大小影响。震级较小时，加速度反应谱和伪加速度反应谱的差异在场地E条件下最小，在场地B、C、D 条件下无明显差异；
震级较大时，加速度反应谱和伪加速度反应谱的差异在场地B条件下最大，在场地E条件下的增长速率明显高于其他场地情况。
（4）与震级和场地类别相比，震中距对加速度反应谱与伪加速度反应谱关系的影响很小，可不考虑其影响。
（5）与实际统计数据相比，提出的经验公式表现良好，可实现加速度反应谱与伪加速度反应谱之间的互相转换。
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