刘 畅，蔡晓江，安庆龙，陈 明
（1.上海交通大学机械与动力工程学院，上海 200240；
2.上海航天控制技术研究所，上海 201108）
飞轮储能技术因其储能密度高、功率密度大，与传统发电机组兼容，受环境温度影响小，使用寿命长，绿色环保等一系列优点，已经被运用到电力调峰、不间断供电、电网运输、电动汽车、卫星供电等多个领域[1]。飞轮储能系统是利用飞轮的加速和减速旋转来实现电能与机械能相互转换的装置，主要由飞轮转子、发电机/电动机及控制器、磁悬浮轴承和真空容器等组成，飞轮转子是飞轮储能系统中最为核心的储能部件[2]。
储能密度是衡量飞轮转子性能的重要指标之一，由于转子的储能密度正比于材料的比强度，因此，要想获得较大的储能量和储能密度，必须采用高比强度的材料。目前国际上应用成熟的产品都是基于铝、高强度钢等金属材料制作，如文献[3]中的飞轮不间断能源系统产品。相比于金属材料，复合材料因具有高比强高度、刚性好、比重小等优良特性，是制作高速储能飞轮的首选材料[4]。复合材料由两种或两种以上不同材料通过专门的制造和成型工艺复合而成，材料的力学性能复杂，因此求解复合材料的非线性优化问题比较困难。
目前国内外学者大多通过简单控制几个参数优化飞轮储能密度。文献[5]通过研究多层飞轮转子间的材料排列顺序及过盈量对飞轮储能的影响，提出了一种多层飞轮转子的优化算法。文献[6]则以层间过盈量和各层纤维铺设角度为优化变量，以转子的储能密度为目标函数进行了多层飞轮转子的结构优化设计。文献[7]利用平面应力各向异性假设和模拟退火优化算法，针对圆柱形飞轮转子的纤维种类和各层的内外径比，以最大储能密度为目标求解出最优解。在国内，文献[8]研究了三种结构的飞轮转子，通过改变不同参数来研究飞轮转子储能密度的变化。
这里针对碳纤维复合材料转子，建立了储能密度优化的数学模型，利用粒子群优化算法（PSO）实现对复合材料转子的结构优化。结论可对以后的复合材料飞轮储能密度优化设计提供理论指导。
储能飞轮转子既要满足高储能量的要求又要达到高储能密度的性能指标。
针对飞轮转子的储能密度优化设计主要从两个方面进行考虑，一是提高飞轮转子的极限转速，进而提高系统的储能量，即飞轮转子的动能；
二是改善飞轮转子的结构，保证转子的低应力水平。
对于一般储能飞轮转子，其储能量和储能密度由下式计算：
式中：E—飞轮转子的动能即飞轮的储能量；
I—飞轮转子的转动惯量；
ω—转子转动的角速度；
U—飞轮转子的储能密度；
m—飞轮转子的质量。
针对圆柱型或圆盘型中心通孔形状的飞轮转子，假设其轴向厚度为h，那么其转动惯量为：
式中：ro—飞轮转子的外径；
ri—转子的内径。
因此有：
式中：λ—飞轮转子的内外径比，且λ=
针对复合材料飞轮转子的储能密度优化设计问题，可建立以下数学模型：
（1）建立基本数学优化模型
目标函数：
约束条件：
式中：X=(x1，x2，...，xm)x1，x2，...，xm≥0，显然，上述模型为单目标的非线性规划问题，X—可优化参数。
（2）确定约束条件
由于复合材料层合板具有各向异性，常用蔡-希尔（Tsai-Hill）准则作为材料的失效准则，表达式如下式所示：
式中：σL—沿纤维向（纵向）拉伸应力；
σT—垂直纤维向（横向）拉伸应力；
τLT—纤维两向（纵横向）剪切应力；
FL—纤维向（纵向）拉伸强度；
FT—垂直纤维向（横向）拉伸强度；
FLT—纤维两向（纵横向）剪切强度。
对于单环纤维缠绕飞轮转子，Tsai-Hill强度准则采用二维应力状态形式（式（6））即可表达单环纤维缠绕飞轮转子的破坏。对于多环纤维缠绕复合材料飞轮转子，由于每一层纤维铺设角度不同，可能会导致轴向应力的增大，因此需要三维应力状态下的Tsai-Hill强度准则[9]：
为了统一起来，可以将约束条件式（5）改写为：
式中：SR—强度比，即飞轮转子某点的应力值与强度准则中该点的应力强度之比，显然，当强度比SR大于1 时，表明材料失效。
强度比SR可通过Tsai-Hill强度准则求得。
复合材料储能飞轮转子的储能密度优化设计问题，其实就是目标函数式（4）在可行域式（8）上寻求最优解的问题。
由此，复合材料飞轮转子储能密度优化问题可以简化为多变量单目标的非线性规划问题。
从飞轮转子的结构角度分析，当转速确定时，影响转子储能密度的因素主要有飞轮转子的几何形状和构造方式及其工艺参数。
几何参数主要包括飞轮转子的外径ro、厚度h、内径ri（即内外径比λ）等，工艺参数主要包含层间过盈量t、各层单环纤维铺设角度θ等。因此各种构造方式的飞轮转子的可优化变量，如表1所示。
表1 各构造方式的飞轮转子可优化变量Tab.1 Optimized Variables of the Flywheel Rotor
在给定飞轮转子的碳纤维复合材料、轮毂材料、转速等条件下，结合通用算法的结构及流程，设计得出针对飞轮转子储能密度多变量的优化计算流程图，如图1所示。
图1 复合材料飞轮转子储能密度结构优化设计流程图Fig.1 Flow Chart of Optimization Design of the Composite Flywheel Rotor
针对某种型号飞轮转子，给定飞轮转子材料为T700/AG80碳纤维增强基树脂复合材料，轮辐材料为铝合金。
各材料性能参数分别，如表2所示。
表2 T700/AG80复合材料基本物理性能参数表Tab.2 T700/AG80 Physical Property Parameters
同时给定飞轮转子基本几何形状为圆盘形，具体几何尺寸参数要求，如表3所示。
表3 某型号飞轮转子结构设计要求Tab.3 Structural Design Requirements of the Flywheel Rotor
飞轮转子结构为多环纤维缠绕，共三层（含铝合金轮毂），限于制造成本，纤维铺设角度均为0°，要求优化后的储能密度在工作状态40000r/min下储能密度提升20%。
采用粒子群优化算法，按照图1所示的优化流程进行飞轮转子的储能密度结构设计。
以U的最大化为目标函数，在一个五维空间中（五个优化变量）寻找最优解。
假设有N个粒子，以目标函数U（x）为适应度函数：
记第i个粒子的当前所在位置为：
速度为vi=(vi1,vi2,…,vi5)，粒子i所经过的最佳位置（通过适应度函数U（x）计算判断）为pbesti=(pi1,pi2,…,pi5)。而整个种群所经过的最佳位置gbest=(g1,g2,…,g5)，这就是全局最优解，即是所需寻找到的最优解解。显然有：
一般而言，粒子在第d（1 ≤d≤5）维的速度和位置更新过程描述如下式：
在建立飞轮结构优化数学模型及实现PSO算法的基础上，在MATLAB中编写算法程序，算法流程图，如图2所示。
图2 粒子群优化算法框图Fig.2 Block Diagram of Particle Swarm Optimization Algorithm
通过MATLAB粒子群优化算法的优化计算，运行结果，如图3所示。得到的各优化参数，如表4所示。
图3 粒子群优化最优结果适应度图Fig.3 Fitness Graph of Optimal Results of Particle Swarm Optimization
表4 储能飞轮优化前后的数值比较Tab.4 Numerical Comparison of Energy Storage Flywheel
由上表可知，优化后的飞轮转子储能密度提升约22.8%，主要通过增加每层转子间的过盈量减小其径向应力，以此充分利用复合材料的特性，以达到提升储能密度的目的。
这里主要研究复合材料高速储能飞轮的储能密度优化设计，主要结论如下：
（1）影响转子储能密度的因素主要有飞轮转子的材料、几何形状和构造方式及其工艺参数。其中几何参数主要包括飞轮转子的外径ro、厚度h、内径ri（即内外径比λ）等，工艺参数主要包含层间过盈量t、各层单环纤维铺设角度θ等因素，这些对飞轮转子的应力水平的影响有一定的规律，可对飞轮结构优化设计提供指导。
（2）将复合材料飞轮转子储能密度优化问题简化为多变量单目标的非线性规划问题，通过粒子群优化算法以及MATLAB 计算，得到轮毂外径为170mm，轮毂与内环、内环与外环的过盈量为0.3mm，内、外环各层径向厚度为15mm，储能密度提升22.8%。
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