任 翠，明 森，韩 伟，杜嘉仪
(中北大学 理学院，山西 太原 030051)
本文研究带组合记忆项的Tricomi方程的Cauchy问题
(1)
本文利用迭代方法研究问题(1)解的破裂性态，将文献[4]中研究的带组合非线性项的问题推广为带组合记忆项的Tricomi方程小初值问题.同时，分别将文献[5,10]中研究的带幂次记忆项的Tricomi方程与波动方程推广为带组合记忆项的Tricomi方程，并给出解的生命跨度的上界估计.
定理 1设θ(n,l,p,q)=3+r-((1-n(l+1))(p/2)+(r+(n-1)(p-1))(l+1)+n)(q-1)>0.
suppu⊂{(t,x)∈[0,T)×Rn‖x|≤R+φl(t)},
其中,φl(t)=tl+1/(l+1).则存在正数ε0=ε0(n,l,p,q,u0,u1,R)，使得问题(1)的解有生命跨度的上界估计，即
(2)
式中：0<ε≤ε0；
C为不依赖于ε的正常数.
本文给出定理1证明过程中需用到的一些引理以及对问题(1)弱解的定义.
引理 1[4]设φ(x)满足
式中：Sn-1表示n-1维球面.设
λ(t)=Clt1/2K1/(2l+2)((l+1)-1tl+1)>0,
ψtt-t2lΔψ=0.
且满足
|u(s,x)|q)ψ(s,x)dsdxdτ,
(3)
|u(s,x)|q)ψ(s,x)dsdxdτ.
(4)
记
(5)
(6)
(7)
首先，分别建立F0(t)与F1(t)的估计.
引理 2设u0,u1满足定理1的条件，存在T0>0，对∀t∈[2T0,T)，则
F0(t)εIl[u0,u1]t-l,
(8)
其中
(9)
证明将ψ(t,x)=λ(t)φ(x)代入式(3)，利用λ(0)=1，可知
ψ(s,x)dsdxdτ=εIl[u0,u1]+
ψ(s,x)dsdxdτ.
计算得到
ψ(s,x)dsdxdτ.
(10)
于是
(11)
式(11)两端同乘(λ(t))-2，并在[0,t]区间积分，可得
(12)
因此
由于
则有
F0(t)εIl[u0,u1]t-le-2φl(s)sle2φl(s)ds.
因此，对于∀t∈[2T0,T)，可知
F0(t)εIl[u0,u1]t-le-2φl(t)sle2φl(s)ds
εIl[u0,u1]t-l(1-e-2φl(t/2)-2φl(t))=
εIl[u0,u1]t-l(1-e2(2-(l+1)-1)φl(t))
εIl[u0,u1]t-l.
引理2证毕.
引理 3设u0,u1满足定理1的条件，存在T0>0，对∀t∈[2T0,T)，有
F1(t)εIl[u0,u1].
证明令
则有F1(t)=λ(t)F4(t).在式(4)中令ψ(t,x)=φ(x)，可得
(|ut(s,x)|p+|u(s,x)|q)φ(x)dsdxdτ=
φ(x)dsdxdτ.
(13)
由于F0(t)≥0，∀t∈[0,T)，则式(13)表明F4(t)≥0，于是F1(t)≥0.由式(6)与式(7)可知
(14)
利用式(10)可得
(15)
将式(15)关于t求导，得
结合式(14)可得
则有
(16)
(17)
结合式(15)～式(17)，得
(18)
式(18)两端同乘(λ(t))-2，并在[0,t]上积分可得
从而
εIl[u0,u1](1-e-2ω(1-2-(l+1))φl(t))
εIl[u0,u1].
引理3证毕.
在式(3)中令ψ(t,x)=1，可得
(|ut(s,x)|p+|u(s,x)|q)dsdxdτ，
则有
(|ut(s,x)|p+|u(s,x)|q)dsdxdτ.
(19)
式(19)在[0,t]上积分，可知
F(t)=
(|ut(η,x)|p+|u(η,x)|q)dηdsdxdτ.
于是
|u(η,x)|q)dηdsdxdτ.
(20)
根据式(20)得
(21)
利用Hölder不等式可知
Fq(η)(R+η)-n(q-1).
于是
(22)
根据式(20)可知
(23)
计算得到
(24)
从而
φl(η))-(n-1)(p-1)+(n-1)p/2dηdsdτ.
(25)
将式(25)在(2T0,t)区间积分，有
ηlp/2(R+φl(η))-(n-1)(p-1)+(n-1)p/2-rdηdsdτ≥
φl(η))(n-1)p/2dηdsdτ≥Kεp(R+t)(-r-(n-1)(p-1))(l+1)·
(t-2T0)(n-1)(l+1)p/2+lp/2+3.
(26)
下面利用迭代方法给出解的生命跨度的上界估计.
假设
(27)
基于式(26)，当j=0时，有
C0=Kεp,α0=(r+(n-1)(p-1))(l+1),
β0=(n-1)(l+1)p/2+lp/2+3.
(28)
将式(27)代入式(22)，可知
F(t)≥
Cj+1(R+t)-αj+1(t-2T0)βj+1,
(29)
其中
αj+1=αjq+n(q-1)+r,βj+1=βjq+3.
(30)
从而得到
αj=qαj-1+n(q-1)+r=
(α0+n+r/(q-1))qj-n-r/(q-1),
(31)
βj=βj-1q+3=(β0+3/(q-1))qj-3/(q-1).
(32)
于是
(βjq+1)(βjq+2)(βjq+3)≤(βjq+3)3=
(33)
则有
从而
logCj≥logM-3jlogq+qlogCj-1≥
(1+q)logM-3(j+(j-1)q)logq+q2logCj-2≥
当j≥j0时，有
计算可知
qjlog(Kεpq-3q/(q-1)2M1/(q-1))=qjlog(Dεp),
(34)
式中：D=Kq-3q/(q-1)2M1/(q-1).利用式(24)、式(31)、式(32)与式(34)，可以得到
(35)
当t≥T1=max{R,4T0}时，则有log(R+t)≤log(2t),log(t-2T0)≥log(t/2).于是
F(t)≥exp(qj(log(Dεp)+
(36)
其中
定理1证毕.
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