夏越婷， 尹忠东， 王 毅
(1.新能源电力系统国家重点实验室(华北电力大学)， 北京 102206；
2.河南省电力公司 电力科学研究院， 河南 郑州 450000)
经济发展新常态下，线路节能降损越来越受到电力企业的关注。线损率反映了电网的经济运行水平，也从侧面反映了电网企业经营管理水平[1]。据统计，目前我国电网的综合线损率约为6.50%[2]。35 kV至110 kV输电网的线损量约占电网损失电量的22%，配电网占78%。10 kV配电网的线损量约占36%，0.4 kV配电网的线损量约占42%。电力系统中非线性负载越来越多，谐波含量较高[3]。谐波增加了线路损耗，引起电能损失等经济性问题，同时在电力系统的安全运行方面带来了新的挑战[4]。因此，配电网节能降损重点降低配电线路的谐波损耗。配电线路谐波损耗与流过线路电流及线路电阻的大小相关。计算谐波损耗必须考虑不同频次谐波作用下线路的谐波电阻。因此，准确计算谐波作用下线路的谐波电阻对计算线路谐波损耗以及配电网的节能降损具有重要意义。
目前谐波电流对架空线线路损耗影响的相关研究较少，建立精确的谐波损耗模型较为困难[5]。文献[6-7]中直接用基波电阻代替各次谐波电阻。该方法未考虑趋肤效应对线路电阻的影响，主要应用于谐波含量较少的配电网，在谐波含量较高的电网计算误差较大。文献[8]中G.J.Wakileh指出随着频率的增高，线路电阻增大，电感略有减小。因此，以直流电阻乘以根号下谐波次数来计算考虑谐波因素的电阻值。这种简化计算忽略了导体材料、尺寸所呈现的一些参数的影响。计算结果与实际情况相差较大。文献[9]中日本学者对不同类型导线的大量测试实验给出了单一绞合线、复合绞合线的趋肤效应系数计算公式，该方法计算简单，所需数据易于获得，适合谐波背景下线路交流电阻的计算，但计算公式基于实验测量，未能与理论分析相结合。文献[10]中Morgan在忽略钢芯导电性的情况下，给出的钢芯铝绞线的谐波电阻计算公式，该方法考虑全面，计算结果较为精确，但由于所需参数多、计算过程复杂，不适用于工程计算。文献[11]中提出根据电流密度求得电流和功率损耗，进而计算谐波电阻的方法，但没有给出电流密度的推导过程，且该方法不适用于低次谐波作用下半径较小的导线。文献[12-16]给出了电缆导体的趋肤效应系数的计算公式，计算较为简单，但计算公式对各种类型导线的适用性和准确性不确定，有待进一步验证。
鉴于现有计算方法存在的误差较大、计算复杂等不足，文中首先总结了谐波作用下导体内电流密度曲线的函数表达式，推导出导体谐波电阻系数的计算公式，同时总结了谐波电阻的经验计算公式。根据高频下导体内电流密度曲线的统一表达式，提出一种加入修正系数计算铝绞线谐波电阻系数的方法，称为修正系数法。最后，通过Maxwell仿真验证了理论推导公式的正确性，明确了经验公式的适用范围，同时确定了JKLYJ-185线路的修正系数。最后，通过实验验证了修正系数法计算铝绞线谐波电阻系数的准确性，为计算铝绞线的谐波损耗提供了基础。
1.1 电流密度分布
研究谐波作用下导体电阻值的变化，首先需要对导体内的电流密度分布进行研究。电流的不均匀分布使导体的等效截面积减小。因此，谐波作用下导体的电阻增加，且频率越高，趋肤效应越显著，谐波电阻越大。
(1)
式中：δ为趋肤深度，单位为m；
ρ为电阻率，单位为Ω·m；
ω为角频率，单位为rad/s；
μ为磁导率，单位为H/m；
σ为电导率，单位为S/m。
1.1.1 贝塞尔函数
根据电磁场理论，推导出表示谐波作用下导体内电流密度曲线的贝塞尔函数：
(2)
T2=-jωμσ
(3)
式中:r0为导体半径，Js为导体表面的电流密度，J0(Tr)为零阶第一类贝塞尔函数。
根据式(2)电流密度表达式可写成[17，18]：
(4)
1.1.2 双曲余弦函数
根据麦克斯韦方程组推导得到双曲余弦函数[19]表示的电流密度曲线：
(5)
(6)
计算复数的模值得到电流密度幅值为
(7)
1.2 电流密度曲线的化简
双曲余弦函数、贝塞尔函数表示的电流密度在频率为50 Hz、500 Hz、1 250 Hz时的曲线如图1所示，频率为50 Hz时，由于趋肤深度相比于导体半径较大，导体内的电流密度几乎均匀分布，导体的交流电阻近似等于直流电阻，两种函数表示的电流密度曲线相差不大。随着频率的升高两种函数的差别越来越小，这表明高频电流作用下两种函数可化简为同一类型的函数。
图1 导体内电流密度分布图Fig. 1 Current density distribution in conductor
对于贝塞尔函数表示的电流密度曲线，高频时，δ值很小，第一类贝塞尔函数J0(r)可化简为
(8)
化简式(2)可得到电流密度在高频时的变化规律[17]：
(9)
考虑到高频时，r0/δ≫1，再次化简式(9)得到电流密度曲线[20，21]：
(10)
频率为5 kHz的电流作用下，三种函数表示的电流密度曲线如图2所示。三种函数几乎完全重合，验证了指数函数表示电流密度曲线的合理性。
图2 5 kHz下三种电流密度函数曲线Fig. 2 Three current density function at 5 kHz
2.1 单芯导线谐波电阻的计算
根据导体内电流密度分布曲线，计算得到导体内的磁场强度H(r)[17，18]：
(11)
根据安培环路定理计算流过导线的总电流I：
I=∮Hdl=-2πr0H(r0)
(12)
根据电流密度计算得到电场强度E：
(13)
导线单位长度的表面电阻Rh为
(14)
定义谐波电阻与直流电阻的比值为谐波电阻系数，根据式(14)计算得到表面谐波电阻系数kh：
(15)
文献[16]给出以导体半径与趋肤深度的比值为变量，即r0/δ，计算谐波电阻系数的经验公式：
(16)
2.2 多芯绞线谐波电阻的计算
架空线路广泛采用铝绞线，铝绞线由多跟铝导线构成。流过交流电流时，每根导线中的电流密度不均匀分布。但对于整个绞线而言，与单芯导线中电流密度分布的分布情况大致相同，电流密度由导线中心到表面逐渐增大。由1.2节可知，高频情况下，指数函数在一定程度上可以反应谐波作用下导体内的电流密度分布情况。因此，考虑采用加入修正系数指数函数表示较低次谐波(25次以下)作用下多芯绞线的电流密度曲线。加入修正系数k的指数函数表示为
(17)
其中，k为修正系数，针对不同的线路半径及铝绞线导体数，k的取值不同。
根据电流密度函数计算导体流过的电流值与导体的有功损耗，从而计算导体的谐波电阻值，进一步计算谐波电阻系数。设导体的电阻率为ρ，导体半径为r0，电流密度曲线为J(r)，则电流为
(18)
谐波电流流过单位长度导体时的有功损耗P：
(19)
因此，计算得到的谐波电阻为
(20)
导线的谐波电阻系数为
(21)
将式(17)带入式(21)得到谐波电阻系数。
3.1 单芯导线仿真
建立单芯导体Maxwell涡流场仿真模型。导体截面积为185 mm2，仿真频率设置为50 Hz至1 250 Hz，步长设置为50 Hz，仿真得到铝导线的表面谐波电阻，进而计算其表面谐波电阻系数。仿真结果与理论公式(15)、经验公式(16)的计算结果如图3所示。
图3 单芯铝导线谐波电阻系数Fig. 3 Harmonic resistance coefficient of single core aluminum conductor
从图中可以看出，经验公式(16)、根据贝塞尔函数(4)计算的结果与仿真值基本一致，根据双曲余弦函数(7)计算的结果与仿真值偏差较大。电流频率为50 Hz、100 Hz情况下，趋肤深度大于导体半径，导体谐波电阻与直流电阻相差不大，谐波电阻系数略大于1，由此可见，双曲余弦函数公式计算结果明显与实际不符。
因此，25次及以下频次谐波作用下，相比于双曲余弦函数，贝塞尔函数的计算结果更符合仿真情况。同时通过仿真验证了经验公式适用于单芯导线的表面谐波电阻的计算，可用经验公式代替复杂的理论计算。
3.2 铝绞线仿真
JKLYJ-185导线参数如表1所示，根据其实际结构参数建立涡流场仿真模型。
表1 JKLYJ-185线路参数Tab.1 JKLYJ-185 line parameters
仿真结果如图4所示，仿真值与k值取1.25时修正系数法计算得到的谐波电阻系数基本一致，因此确定JKLYJ-185线路的修正系数为1.25。
图4 铝绞线谐波电阻系数Fig. 4 Harmonic resistance coefficient of aluminum strand
3.3 铝绞线实验验证
实验现场接线如图5所示，线路型号为常用的JKLYJ-185，长160米，四相共640米。负载为多级可调电阻箱，最大功率360 kW，每级可调功率60 kW。三相四线制低压配电网线路如图6所示。
图5 实验现场接线图Fig. 5 Wiring diagram of experiment site
图6 三相四线制低压配电网电路图Fig. 6 Circuit diagram of three phase four wire low voltage distribution grid
三线四线制的线路采用同一型号，且忽略四条线路之间的参数差异。线路中流过基波和谐波电流，测量点设置在配电线路首末两端。为确保实验数据的同时性，采用16通道录波仪同时采样三相首末端电压和流过线路的电流。根据测量的电压、电流计算线路的谐波电阻。通过傅里叶分解，线路第h次谐波损耗Wh为
(22)
式中：UAh、UBh、UCh、UNh分别为A、B、C、N线路首末端第h次谐波电压差值；
IAh、IBh、ICh、INh分别为A、B、C、N线路第h次电流值；
φAh、φBh、φCh、φNh为第h次电压和电流的相位差。
根据谐波损耗计算得到线路的谐波电阻Rh：
(23)
实验线路中流过基波电流和各次谐波电流，谐波频率为100 Hz至1 250 Hz，每隔50 Hz进行一次实验，即频次从2至25次。测得线路两端的电压、流过线路的电流，对其进行傅里叶分解，分别得到基波电压、谐波电压、基波电流、谐波电流的幅值和相位，通过功率计算得到基波电阻和谐波电阻。
直流电阻的理论计算值为0.026 2 Ω，基波电阻与直流电阻的比值定义为基波电阻系数，谐波电阻系数的理论值由加入修正系数的指数函数计算得到，如表2所示。
表2 JKLYJ-185线路谐波电阻及其系数Tab.2 JKLYJ-185 line harmonic resistance and its coefficient
实验结果如图7所示，不同频次实验测量计算得到的基波电阻值在误差范围内相等，验证了实验测量与计算过程的正确性。谐波电阻系数随频率的增加而增大，理论计算值能够准确的反映出JKLYJ-185线路谐波电阻系数随频率变化的趋势。因此，加入修正系数的指数函数能够反映铝绞线导线截面的电流密度分布情况，根据电流密度曲线计算导体谐波电阻，通过谐波损耗叠加原理可进一步计算铝绞线在谐波环境下的功率损耗。
图7 JKLYJ-185线路谐波电阻系数Fig. 7 Harmonic resistance coefficient of JKLYJ-185 line
根据电磁场理论对谐波作用下导体内的电流密度分布情况进行分析，推导出导体表面谐波电阻的计算公式。基于不同类型的电流密度函数提出了加入修正系数计算铝绞线谐波电阻的方法。单芯导体仿真结果说明了较低频次谐波作用下，相比于双曲余弦函数，贝塞尔函数的计算结果更符合仿真情况，同时验证了经验公式可用于导体表面谐波电阻的计算。铝绞线仿真与实验结果验证了修正系数法的可行性，加入修正系数的指数函数能够反映铝绞线导线截面的电流密度分布情况，可准确计算绞线的谐波电阻，为计算谐波环境下配电线路的功率损耗提供理论参考。
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