徐 斌，董书宁，尹尚先，戴振学，李树霞，张润畦
(1.华北科技学院 河北省矿井灾害防治重点实验室，北京 101601；
2.中煤科工西安研究院(集团)有限公司，陕西 西安 710054；
3.吉林大学 建设工程学院，吉林 长春 130026；
4.中国矿业大学(北京) 地球科学与测绘学院，北京 100083)
注浆工程中，浆液扩散半径是注浆孔间距设计的重要依据[1-4]。通过理论模型准确预测浆液扩散范围[5]，尤其是有效扩散范围，有助于现场工程制定合理的注浆参数，节约注浆工程费用。当前煤矿生产建设中的帷幕注浆、底板注浆主要是将浆液注入到裂隙介质中，属于裂隙注浆的范畴[6]。在注浆工程后期，浆液质量浓度变大，常用的水灰比在0.8～1.0，属于典型的宾汉姆流体[7-8]。宾汉姆流体浆液在裂隙介质中运移的影响因素(注浆参数、裂隙介质条件、浆体时变特性等)比较多[7]，导致有关浆液扩散半径计算的理论还不够完善，仍然需要进一步探讨。
由于裂隙介质注浆运移过程十分复杂，当前相关的注浆理论仅限于浆液在开度恒定、表面光滑单一裂隙中的运动规律研究[9]，且已有不少国内外学者推导了宾汉姆流体浆液扩散半径计算公式。LOMBARD[10]、HASSLER[11]推导了宾汉姆流体在水平裂隙的浆液扩散表达式，之后FUNEHA[12]通过实验对以上理论公式进行了验证；
GUSTAFSON等[13-15]进行了宾汉姆流体浆液在裂缝中径向流动的理论公式推导；
罗平平[16]推导了宾汉姆流体浆液在光滑倾斜平板中的流动方程；
由于Wittke-Wallner模型和Gustafson-Stille模型[15]使用较为方便，目前仍然用于注浆工程中浆液扩散半径计算，甚至被列入《矿山帷幕注浆规范》[17]。然而，以上公式未考虑裂隙的粗糙度的影响，并未明确裂隙开度如何获取。为了解决以上问题，部分学者[18-20]考虑裂隙粗糙度、裂隙倾角、浆液时变性等因素建立了宾汉姆流体浆液运动方程，并引入数值模拟的手段进行浆液扩散半径计算；
杨志全等[7]基于时变性宾汉姆流体本构模型，建立了岩体裂隙注浆扩散模型；
张庆松等[21-22]考虑宾汉姆流体时变性与空间变异性，推导了黏度时空变化的水平裂隙岩体扩散理论。以上方法虽有可行性，但由于计算时使用的参数多、计算复杂，难以推广。为了解决计算问题，郑长成[23]还推导了一种考虑注浆压差、隙宽、倾角、粗糙度等因素，计算参数少的理论公式，但该理论与其他理论一样，均认为宾汉姆流体浆液为稳定型浆液。水灰比0.8～1.0的常用水泥基浆液的最终析水时间一般在30 min左右，析水率大于7%[24]，按照现有的浆液稳定性的判定标准，认为静置2 h析水率超过5%的浆液可视为非稳定性浆液[10,25-26]，那么注浆工程中常用的宾汉姆流体浆液应为非稳定型浆液[24]。目前尚未有考虑浆液非稳定性的宾汉姆流体在裂隙介质中运移规律的相关理论。
针对以上问题，笔者建立了考虑浆液非稳定性的宾汉姆流体改进的分层充填物理模型，并提出了有效扩散半径的概念；
基于黏度时变的宾汉姆流体本构模型，建立了考虑注浆压差、隙宽、倾角、粗糙度4个主控变量的裂隙注浆扩散理论模型，并推导了方位角θ=90°时“有效扩散半径”的计算公式；
使用室内物理模拟结果验证了改进的分层充填物理模型的合理性；
利用数值模拟方法验证宾汉姆流体改进理论计算方位角θ=90°时“有效扩散半径”的可靠性。
为了构建适用于宾汉姆流体非稳定性浆液的物理模型，基于现有充填物理模型，将分层充填[22]、“脊背”状充填[1]、驱替充填[8,27-28]3个理论进行结合，构建出改进的分层充填理论，充填物理模型如图1所示。
图1 裂隙充填物理模型示意Fig.1 Physical model diagram of grout filling in fractures
改进的分层充填理论中，3个区域具有如下特点：
(1)混合区(Ⅰ)，浆液流速快，处于紊流状态，不易沉积，形成半径(rkp)较小的非沉积混合区，随着分层充填累积次数的增加，浆液颗粒的充填，裂隙隙宽减小，混合区浆液流速有所增加，第i层分层对应的混合区半径rkpi有所增加。
(2)分层扩散区(Ⅱ)，浆液处于层流状态，水泥颗粒开始沉积，从浆液中分离出来，逐步减小裂缝的宽度，浆液在扩散中满足驱替充填的特性；
分层充填扩散时，假定浆液达到最大扩散半径(R)前，浆液扩散方式视为驱替充填，浆液达到最大扩散半径后，浆液颗粒迅速发生析水沉淀，完成一次分层充填过程，当分层扩散区裂缝达到可注性极限宽度时，对应的扩散半径Ri为有效扩散半径最大值。
(3)分层沉积区(Ⅲ)，分离出的水泥颗粒在裂隙底面开始沉积，形成层状充填，随着注浆时间的增加，分层充填次数增多，裂隙逐渐变窄，直到裂缝基本填满(如图1中红色的虚线所示)，而随着裂隙变窄，浆液扩散半径逐渐变小，浆液沉积区域整体呈现“脊背”状的形态(图1)，其他学者[1,28]在构建浆液物理充填模型时，也认为浆液在裂隙中会形成“脊背”状的沉积物。
2.1 基本假设
宾汉姆分层充填理论模型考虑裂隙倾角、裂隙粗糙度、地下水的影响，针对宾汉姆流体建立起非稳定浆液在粗糙裂隙内运移扩散的理论模型，建立这些理论模型时，基于以下假设[5,7,23,27]：
① 浆液为不可压缩的均质各向同性流体；
② 裂隙隙宽小，流速缓慢，浆液除了在灌浆孔周围局部区域的流态呈紊流状态外，皆为层流；
③ 浆液在裂隙中流动时，壁面无滑移条件成立，即浆液在壁面流速为0；
④ 裂隙为等厚光滑的理想裂隙，裂隙壁面不透水，流体中的水不向围岩中渗透；
⑤ 在注浆过程中，浆液流型保持不变；
⑥ 宾汉姆流体的动切力在运动中基本不变；
⑦ 浆液的可注性较好，不发生堵塞现象，浆液在裂隙平面上发生辐射径向流动；
⑧ 浆液前峰面在静水压力作用下不发生稀释现象，即浆液与地下水的交界面是突变的；
⑨ 在浆液的塑性强度达到临界值前可以重复注浆；
⑩ 浆液在运动过程中无沉淀发生，沉淀析水过程发生在单次分层充填后，即浆液到达最大扩散半径后，迅速沉淀析水，充填裂隙；
浆液黏度同步变化，相同时间不同位置的浆液黏度相同。
2.2 浆液扩散理论模型
假设平板缝隙开度等效水力隙宽为bh，在注浆孔压力P0作用下在裂隙中做径向辐射流动，取流场中任一流体微元六面体进行受力分析，如图2所示。
倾斜裂隙在计算浆液扩散半径时，需要考虑重力作用对浆液运移扩散的影响。为方便研究，可以将水平坐标系旋转一定角度，获得与倾斜裂隙面匹配的新坐标系。垂直于裂缝平面的各径向平面间无剪应力作用。设粗糙裂缝宽度为bm，其等效水力隙宽为bh，裂隙倾角为α，如图2(a)，(b)建立柱坐标系(r，θ，z)，其中，r为浆液流动的方向，z为裂隙张开的方向，r顺着裂隙倾向时，对应的方位角θ=0°，r轴的坐标原点位于注浆孔轴线上，z轴的原点取在缝隙的中心。
2.3 浆液扩散半径公式推导
在流场中取任一流体微元六面体的受力分析，运用牛顿第二运动定律，当浆液压差动力与浆液阻力相等时，浆液达到最大扩散半径。
对于不可压缩黏性流体满足N-S(Navier-Stokes)动量平衡方程，沿柱坐标系(r，θ，z)中r轴的分量式为
(1)
式中，Xr为单位流体重力在r方向的分量；
ρ为流体的密度，kg/m3；
ν为运动黏滞系数，m2/s；
uθ为沿圆周切向方向的流速分量。
宾汉姆流体在柱坐标体系中满足[23]：
(2)
式中，g为重力加速度，m/s2；
uz为沿轴的流速分量。
宾汉姆流体属于不可压缩流体，满足连续性方程：
(3)
经过化简变化，忽略微量单元，式(1)可变为
(4)
式中，γg为浆液容重，γg=ρg。
宾汉姆流体满足以下本构方程：
τ=τ0+μpγ
(5)
式中，τ为剪切应力，kPa；
γ为应变率；
τ0为浆液的初始切动力，kPa；
μp为浆液初始动力黏度,N·s/m2。
柱坐标体系中：
(6)
式中,τzr为作用于平行于z平面、平行r方向的剪切应力。
对式(6)求偏导数，可得
(7)
利用式(7)，可以简化宾汉姆流体动量平衡方程中的黏性动量项，同时，忽略微量单元，式(7)可化简[23,27]得
(8)
式(8)变换可得
(9)
为了简化公式，令Ps满足以下等式：
Ps=P-γgrsinαcosθ
(10)
将式(10)代入式(9)，积分可得
(11)
式中，c1为常数项。
将z=0时,τ=0代入式(11)，可得c1= 0，于是得出
(12)
研究表明[12]宾汉姆流体流动时存在着流核，在柱坐标系统中，平面裂隙中，流核剖面高度为z(图2(c))，zb为流核高度的一半，流核内部无相对位移，则有边界条件：z=zb， du/dz=0，将其代入式(11)可得
τ=τ0
(13)
将式(13)代入式(12)可得
(14)
由式(14)可得流核计算式[12]为
(15)
从以上流核公式可以看出，流核高度与压力梯度有直接关系，当注浆压力变化很大时，流核高度很小，注浆孔附近压力变化很大，则注浆口附近流核高度较小；
随着扩散半径的增加，Ps变小，压力梯度也变小，流核高度变大。
将式(12)和式(14)代入式(6)，可得
(16)
将式(16)从|z|=zb到|z|=bh/2积分，壁面无滑移，则有|z|=bh/2，u=0，经过变化可得zb≤|z|≤bh/2的流速表达式[27]为
(17)
当z=zb时，可以得流核流速：
(18)
将速度沿z轴平均，则得出断面平均流速为
(19)
注浆浆液具有黏时变特性，基本满足以下方程[8]，即
μp=μp(t)=μp(0)ekt
(20)
将式(20)代入式(19)可得
(21)
(22)
式(22)化简可得
(23)
将Ps代入式(23)，沿r方向从r0(注浆孔半径)至R积分，整理后得宾汉姆流体在隙宽恒定为等效水力隙宽为bh的光滑裂隙最大扩散半径
(24)
式中，P0为被注裂缝钻孔注浆口处的压力，kPa。
当裂隙倾角α=0°时，式(24)可以简化为
(25)
式(25)与《矿山帷幕注浆规范》[17]中宾汉姆流浆液扩散半径计算公式基本相同。
2.4 浆液扩散半径的修正
式(24)应用于粗糙裂隙时还需要进行修正，粗糙裂隙中最大扩散半径R′与光滑裂隙最大扩散半径[23]R满足：
R′=ξR
(26)
将式(26)代入式(24)可得
(27)
等效水力隙宽bh与实际中常用力学bm描述粗糙裂隙的隙宽有如下的转换关系[29]：
(28)
式中，σb为开度的标准差；
ξ为无因次粗糙度系数，一般取0.64～0.78。
由前文构建的宾汉姆流体浆液分层扩散模型可知，浆液在天然粗糙裂缝中运移时，裂隙被浆液逐步分层充填，考虑到浆液分层充填，浆液在裂缝中充填一层，增加的厚度为浆液结石体厚度，若假定浆液的析水率为η，则顶部第i层未充填裂隙的力学隙宽bm(i)为
bm(i)=bm(1)ηi-1
(29)
式中，bm(1)为初始裂隙的等效水力隙宽，cm；
η为浆液析水率；
i为分层充填次数，充填的次数可根据浆液的最小可注隙宽确定。
若将粗糙裂隙中未充填的力学隙宽bm(i)对应的未充填的等效水力隙宽定义为b′h，则可得到
b′h=ξ2bm(i)=ξ2bm(1)ηi-1
(30)
将式(28)代入式(24)可得粗糙裂隙顶部第i次分层充填时的宾汉姆浆液扩散半径最大值：
(31)
注浆工程中最关注的扩散半径为粗糙裂隙方位角θ=90°的浆液扩散半径，将方位角θ=90°代入式(31)，忽略注浆孔半径r0，可得第i层R′i90：
(32)
式中，R′i90为第i次充填的最大扩散半径，cm，当i取最大值时，为浆液扩散的有效扩散半径。
2.5 与常用理论模型对比
(1)Wittke-Wallner模型。维特克(Wittke)和沃尔尼(Wallner)[30]推导的宾汉姆流体扩散半径的公式在注浆工程中使用最多，现已被录入《矿山帷幕注浆规范》，其表达式为
Rmax=bΔP/(2τ0)+r0
(33)
式中，ΔP为注浆压差，kPa；
Rmax为扩散半径最大值，cm；
b为裂隙宽度，cm。
(2)Gustafson-Stille 模型[15]。
Rmax=bΔP/(2τ0)
(34)
将宾汉姆流体改进模型与2个常用理论模型公式应用于同一案例，计算方位角为90°的浆液扩散半径，其中，裂隙倾角α=0°，粗糙裂隙宽度bm(1)=2.4 cm，可注粗糙裂隙为0.24 mm，浆液密度为1.3 t/m3，ΔP=1,2,3,4,5,6,7,8 MPa(终孔注浆压差一般为静水压力的1.0～1.5倍[1]，表1中的注浆压差选取能满足绝大多数工程终孔注浆压差设置)，ξ= 0.7，r0=7.6 cm，τ0=4 Pa，浆液的析水率η=0.1[11]，分层充填次数i=2后，第3层充填时bm(3)= 0.24 mm。参数代入3个理论模型(式(32)～(34))后，浆液扩散半径计算值见表1。
表1 浆液扩散半径计算值对比
从表1中可知，常用2个理论公式浆液扩散半径计算值远大于改进模型计算值，而现有的裂隙介质注浆工程中，浆液有效扩散半径现场经验值一般取15～40 m[6]，改进的理论模型计算值与现场工程经验值为同一数量级，相差较小，当注浆压差为8 MPa时，改进分层扩散理论模型的有效扩散半径值为82.38 m，为经验值的2倍左右，这也符合注浆工程中为了确保注浆效果，注浆孔的扩散范围进行叠加的要求，而使用Wittke-Wallne 模型和Gustafson-Stille模型计算的有效扩散半径是改进理论模型的300倍左右，远大于工程经验值，若作为注浆参数，使用时误差较大。导致这一现象的主要原因：① 宾汉姆流体改进的分层充填理论修正了裂隙宽度，认为裂隙隙宽随着分层充填而减小，而常用理论公式未考虑裂隙隙宽的变化，假定浆液为驱替充填；
② 改进的模型考虑了粗糙度的影响，更加符合自然状态下，裂隙粗糙不平的现象。可以说，2个常用理论模型是改进分层充填理论的特例，相当于改进模型中充填次数i=1的情形，假定驱替充填能一次性能将裂隙充填满，为此，可以用它来计算浆液最远扩散范围，改进的理论公式计算的是完全充填满的扩散范围。同时，改进的理论模型还能合理地解释以下现象：
(1)浆液注浆量达到设计要求，而注浆效果不佳的现象。
如图1所示，随着浆液分层充填，裂隙逐步减小，而裂隙变小后，浆液扩散阻力增大，浆液扩散半径会逐步减小，最后被浆液完全充填的裂隙的扩散范围非常有限。为了区分完全充填和部分充填的扩散半径，笔者将裂隙被完全充填、能达到防渗堵漏作用的扩散范围定义为“有效扩散半径”，反之，裂隙未被完全充填、不能达到注浆要求的扩散范围称为“无效扩散半径”。注浆工程中浆液的“有效扩散半径”是确定注浆孔间距的关键，若注浆参数不合理，“无效扩散半径”大，甚至出现数公里外水井冒出浆液的情况[31]，而“有效扩散半径”未注满注浆孔间距范围，则出现浆液注浆量大，而注浆效果会出现不佳的现象；
若注浆参数合理，“有效扩散半径”能覆盖注浆孔间距范围，则会出现注浆量小，而注浆质量效果好的现象。为此，注浆工程中注浆参数选择时使用的浆液扩散半径实际上应为本文定义的“有效扩散半径”。
(2)非稳定浆液在裂隙中的多余水分如何排除？
浆液在裂隙中运移时，只有5%～25%的水参与水化作用，剩余75%～95%为多余水量，当水泥颗粒到达预定位置后，多余水量应该排出。目前主要有2种理论[1,32]解释如何排出多余水分：“流动沉积”和“固结排水”理论。
流动沉积排水理论认为，浆液进入岩体裂隙后，多余的水分通过顶部微小的缝隙以清水的形式排到远方，直至岩石裂隙完全填满为止。这一理论缺陷是无法解释在重力作用沉积时，水灰比越大，结石体不出现密度、力学强度明显减小的现象。
固结排水理论最先由库茨纳尔(德国)于1964年提出[1]，认为注浆过程存在2个阶段：首先是“填满”阶段，然后是“饱和”阶段，在“填满”阶段，在前端最先形成类似“止水塞”的固结体，并填满了绝大部分的裂隙；
在“饱和”阶段，浆液中多余的水分被饱和压力挤压排出，水泥颗粒被保留下来，形成类似太沙基固结土体，这一理论的缺陷是无法解释浆液在坚硬和透水性差的岩体裂缝中的排水机理。
而改进的分层充填理论则能有机结合以上2个理论的优势，并弥补它们的缺陷，认为裂隙在分层充填前期“流动沉积排水”占主导作用，分层充填后期“固结排水”占主导作用，注浆前期，浆液在分层扩散区形成沉积，逐步将裂隙充填满，多余的水分可以通过顶部裂隙流到远处，合理解释了浆液在坚硬和透水性差不能排水的问题；
注浆后期，当裂隙缩小到一定隙宽时，也就是浆液充满大部分裂隙时，浆液压力通过挤压作用将多余的水分从顶部微小的缝隙挤出，同时，浆液压力会对前期形成的结石体进行挤压，使得结石体的力学强度和密度得到加强，合理解释了水灰比较大时，结石体的力学强度、密度不会随之变小的问题。
3.1 模拟试验装置
多主控变更的可视化裂隙注浆试验装置为吉林大学与西安煤科院共同开发完成(图3)[33]，注浆模拟试验系统主要包括四大系统：① 水压恒定系统；
② 可视化注浆平台；
③ 数据采集分析系统；
④ 注浆系统。试验装置尺寸为0.6 m×1.2 m，裂缝宽度有4个，分别是2，5，8，10 mm。裂隙表面贴有人工原岩贴膜，实现模拟不同裂隙隙宽、裂隙粗糙度条件下的注浆模拟；
裂隙平台表面贴有透明网格(图4)，可以快速获取浆液扩散半径；
平台还配有角度调节器能使平板裂隙0°～90°旋转，实现倾斜裂缝的模拟。
图3 试验装置实体示意Fig.3 Experimental device entity diagram
图4 浆液分层-分区扩散实物Fig.4 Layered slurry-zoning spread physical diagram
3.2 试验材料及性质
试验材料为纯水泥浆，水泥型号为鼎鹿牌复合硅酸盐水泥P.C32.5R，水泥品质符合GB 175—2007《通用硅酸盐水泥》标准。
3.3 试验方案
为了验证宾汉姆流体浆液扩散分层扩散现象，进行了人工原岩裂隙浆液扩散试验，其中，水灰比为0.8、粗糙裂隙隙宽为4.4 mm、粗糙度为0.3 mm，裂隙中充满水，注浆压力ΔP，即注浆口压力与静水压力的差值，分别取20，30 kPa，裂缝倾角为0°，试验重复3次。
3.4 浆液扩散形态
通过对所有试验组扩散形态分析发现，浆液在裂隙中扩散运移时有分区、分层扩散试验现象。宾汉姆流体浆液在ΔP=20 kPa发生充填时，经过一段时间后，水泥浆液停止运动，即，水泥浆液在粗糙裂隙中达到最大扩散半径，水泥浆液停止运动后，扩散主区内的浆液在较短时间内发生浆-水分离，形成一层沉积层，观测发现粗糙裂隙未被水泥浆充满。将注浆压差ΔP调为30 kPa后，水泥浆液再次能够进入粗糙裂隙，在扩散过程中，新的浆液在第1沉积层上发生驱替运移，而第1沉积层前端浆液未发生移动(图4(a))，扩散一段时间后，浆液再次停止，达到第2次充填的最大扩散半径，并迅速形成第2沉积层，以上现象在其他2组实验中重复出现。
除了浆液充填过程中出现分层现象以外，浆液在单层运移时有明显的分区现象(图4)，这与裂隙分层充填物理模型中的分区假设也十分吻合，浆液在扩散过程中可分为：混合区、分层扩散区、分层扩散前锋面区(图4)。本次试验中的分层分区现象与张庆松等[21]在动水环境条件下的分层分区扩散非常类似，其试验中也发现浆液在流动中浆液前锋面(浆-水界面)小范围内发生明显的分层现象，浆液的大部分区域在浆液流动运移时，未发生明显的分层现象。由于分层区域面积相对于整个扩散范围来说可以忽略，这一试验现象为本论文的假定提供重要的依据，即，在裂隙中发生单层流动扩散时，非稳定宾汉姆体浆液不考虑浆液沉淀析水。
由于室内模拟试验平台短边尺度较小(30 cm)，浆液扩散半径易到达平台边界，导致室内物理模拟试验无法验证稍大尺度条件下改进理论公式的可靠性，为此需要引入数值模拟的方法。在使用数值模拟验证理论公式前，首先需要验证数值模拟软件Fluent模拟宾汉姆流体的可靠性。由于论文中使用数值模拟方法主要用于最后一层浆液扩散半径值进行计算，为此，室内物理试验与数值模拟对比的主要目的是检验宾汉姆流体浆液单层充填时数值模拟结果的可靠性。于是，本次研究将数值模拟分为2类：室内物理试验与数值模拟对比分析类、理论模型与数值模拟对比分析类，并相应的进行了2组数值模拟。
4.1 数值模拟与室内试验对比
(1)几何模型。建立的数值模拟模型尺寸与室内试验平台严格匹配，130 cm长×60 cm宽，注浆孔直径20 mm，注浆口位置位于平板模型中心位置，使用非结构网格划分法对建立起来的三维模型进行网格划分，注浆口和出流口位置进行网格加密处理，建立的三维模型及其网格划分如图5(俯视图)所示。
图5 几何模型与网格划分示意Fig.5 Geometric model and mesh diagram
(2)参数设置。数值模拟中使用Herschel-Bulkley流变模型模拟宾汉姆流体[19,33-35]；
边界条件：注浆口为恒压入口边界，出流口为恒压出口，流体壁面为静止固壁，无滑移边界条件。
(3)工况设置。浆液类型为纯水泥浆，水灰质量比为0.8，浆液密度1 501 kg/m3，注浆静水压力环境为14 kPa，浆液黏度μ(t)=19.9e0.023 3t；
浆液剪切应力τ=5.321+0.022 9γ；
温度为15 ℃；
水的密度为999.1 kg/m3；
水的黏度为1.404 mPa·s。注浆压差、裂隙倾角、隙宽、粗糙度4个参数设置4个变量，详见表2，其中隙宽主要通过粗糙度进行控制，隙宽=2 mm-2Ra，其中Ra为岩石表面粗糙度，mm，共计10种工况条件。
表2 理论模型与数值模拟模拟对比方案
(4)数值模拟与试验结果对比。通过对比10种工况条件下的室内试验和数值模拟结果发现，使用Fluent数值模拟软件模拟单层宾汉姆流体浆液在单裂隙中运移过程时具有一定的可靠性。笔者使用注浆压差为2 kPa、裂隙倾角为0°、隙宽为1.4 mm、粗糙度为0.3 mm的工况举例说明。
浆液密度的形态能够直接反映浆液形态的变化，为此，数值模拟结果中通过浆液密度可以反映浆液形态的变化，图6中红色部分为初始浆液密度，密度最大，蓝色部分为水的密度，密度最小，其他部分为水-浆液混合密度，密度居中。扩散形态对比显示，室内模型试验和数值模拟浆液扩散形态在达到短边出流边界前呈现为“近圆形”，当浆液扩散至无出流边界后，浆液呈现“椭圆形”，浆液扩散前锋面有过渡带，两者吻合度较高；
扩散速度对比显示，浆液扩散初期(0～10 s)，浆液扩散范围(扩散半径)增长速率快，扩散后期(10 s后)，浆液扩散半径增长速率减慢，2者在数值上略有差异，但数量级上基本保持一致。其余9组工况的对比结果与此类似，数值模拟浆液扩散形态与室内模拟实验扩散形态基本吻合，同一时间内的浆液扩散半径有一定的误差，但误差值控制在30%内，满足工程模拟的精度需求。综上分析，可以使用数值模拟的方法计算宾汉姆流体最后一层浆液扩散半径值。
图6 浆液扩散形态对比Fig.6 Comparison of slurry diffusion patterns
4.2 数值模拟与改进理论对比
本部分数值模拟主要用于验证宾汉姆流体浆液在浆液最后一层裂隙扩散时，粗糙裂隙方位角θ=90°的浆液有效扩散半径理论计算式(32)的可靠性。
(1)几何模型。建立的几何模型及网格剖分如图7所示。有限元模型为三维模型，尺寸为长2 m×宽2 m，注浆孔直径为20 mm，注浆口位于平板模型中心位置，建立的三维模型是通过非结构网格划分法进行网格划分，进浆口位置进行网格加密处理。
图7 几何模型与网格划分示意Fig.7 Geometric model andmesh diagram
(2)参数设置。与4.1中参数设置一致。
(3)工况设置。由于式(32)计算最大有效扩散半径时，不受倾角的影响，主要受到最后一次充填隙宽、注浆压差、粗糙度的影响，而隙宽与粗糙度设置在数值模拟建模时相互影响(见4.1节中论述)，数值模拟时可进行简化，为此，数值模拟主要考虑注浆压差的影响。根据注浆压差不同，设置注浆压差ΔP=10，20，30，40 kPa的4种工况。其他具体参数设置参考4.1节。
本次使用的水泥为普通水泥，主要成分的粒径约为50 μm，最大粒径80 μm，根据裂隙可注性判定标准[1]，裂隙隙宽大于最大粒径的3倍以上，则裂隙岩体可注性极限裂宽为0.24 mm，为此，为了验证改进理论的准确性，本次数值模拟的裂缝宽度选为0.25 mm，粗糙度为0.3 mm。
(4)数值模拟结果。图8中红色部分为初始浆液，蓝色部分为水，其他部分为水-浆液混合。从图8可以看出，① 随着注浆压差的增大，浆液扩散半径增大；
② 宾汉姆流体在平板裂隙中的流动以注浆孔为中心，具有较好的对称性；
③ 注浆压差越大，宾汉姆流体水-浆液混合区面积变大。
图8 浆液扩散形态随注浆压差变化Fig.8 Simulation spread shape of Bingham fluidchanges with grouting pressure
(5)数值模拟与理论计算结果对比。本次宾汉姆流体中的等效水力隙宽计算可得b′h=0.206 mm，将注浆压差ΔP=10，20，30，40 kPa，裂隙倾角α=0°，注浆孔半径r0=1 cm，无因次粗糙度系数ξ=0.8，浆液密度1 501 kg/m3，浆液黏度μ(t)=19.9e0.023 3t，τ=5.321+0.022 9γ等参数代入式(32)，计算出粗糙裂隙方位角θ=90°的浆液有效扩散半径。计算结果详见表3。
表3 宾汉姆流体改进理论计算值与数值模拟值对比
从表3可以看出，宾汉姆流体改进的浆液扩散半径计算值与数值模拟计算值相对误差最小值为2.16%，相对误差最大值为12.94%，平均误差为7.05%，均小于15%，表明改进的分层扩散理论模型计算浆液有效扩散半径时具有一定的可行性。
(1)宾汉姆流体改进分层充填理论认为注浆过程中“有效扩散半径”是确定注浆孔间距的关键，若注浆参数不合理，“无效扩散半径”大，而“有效扩散半径”未注满注浆孔间距范围，则出现浆液注浆量大，而注浆效果会出现不佳的现象；
若注浆参数合理，“有效扩散半径”能覆盖注浆孔间距范围，则会出现注浆量小，而注浆质量效果好的现象。
(2)宾汉姆流体浆液扩散实验表明，水泥基宾汉姆浆液运移时确实有分层运移的现象，且浆液在平面上的分布可分为3个区域：浆液混合区、分层扩散区和分层扩散前锋面区，这一现象与数值模拟中浆液在最后一层充填时有明显的密度分区，浆液扩散前锋分层区、扩散区和混合区相比较一致，较好地验证了宾汉姆流体改进分层充填物理模型。
(3)与前人所推导的公式相比，基于宾汉姆流体改进的分层模型，推导的理论公式与前人理论公式有基本相同的形式，但进行了2处修正，一是修正了裂隙宽度，认为裂隙隙宽随着分层充填次数增加而减小，而前人理论公式未考虑裂隙隙宽的变化，假定浆液为驱替充填，相当于改进模型中充填次数i=1的情形；
二是改进的理论模型考虑了粗糙度的影响，符合自然状态下裂隙粗糙不平的现象。
(4)通过数值模拟结果与室内相似模拟试验对比发现，选用的数值模拟软件能用于模拟宾汉流体在裂隙中的运移过程，在验证数值模拟可靠的基础上，验证了推导的改进理论公式在中尺度条件下，计算裂隙走向“有效扩散半径”时具有可行性；
目前，推导的宾汉姆流体改进理论公式未在野外大尺度条件下进行检验，建议下一步开展相关研究工作，以便理论公式能更好地指导现场工程。