刘 源，陈宏民，杨云鹏
（上海交通大学 安泰经济与管理学院，上海 200030）
在过去十余年平台经济的迅速发展中，“免费”似乎成为伴随平台崛起的一大热门词汇。表1列举了平台采取免费模式的典型案例。平台企业免费策略有的昙花一现，有的则延续至今。那么，免费成为平台长期均衡策略需要满足什么条件？在平台的免费策略中，存在2种常见的免费模式。第1种模式是跨边补贴策略，即补贴某一边用户（免费）的同时向另一边用户收费。例如，搜索引擎（如百度、谷歌）对使用搜索服务的用户免费，对参与竞价排名的商家收取广告费。第2种模式是针对同边用户中的一部分用户免费，对另一部分用户收费。例如，婚恋网站（如百合网）收取不同等级的会员费，视频网站（如腾讯视频）上同时存在免费用户和付费VIP 用户。经典的双边市场理论［1-3］对第一种模式已有较好的解释，本文重点关注在什么情况下第二种模式能成为平台的长期均衡策略。
表1 采用免费模式的典型平台Tab.1 Examples for platforms that take zero-price strategies
以往关于平台免费策略及背后动机的研究，多集中在口碑营销、信息传递和网络效应这3 个方面。首先，从口碑营销的角度来说，免费相当于最好的广告。例如，KAMADA 和ÖRY［4］对比了推荐返现和免费这2种口碑传播的模式，发现通过免费的方式能吸引更多用户，进一步增强网络外部性，有利于口碑的传播。当平台上收费的用户相对较小，免费的用户相对较多时，采用免费的方式更加有利于口碑的传播。LI等［5］基于田野实验的方法研究企业免费样品的设计，他们的结果表明，提供高质量的免费样品更有益于明星产品的销售。
其次，从信息传递的角度而言，免费大多为信息型产品或服务，如软件、游戏、音乐、网课和网剧等。消费者对这类产品或服务的质量信息通常缺少认知，仅仅通过文字图片或者短视频介绍进行推广，难以有效地传递产品质量信息［6］。为此不少商家推出产品免费策略，例如，腾讯视频上对热播的电视剧可以免费试看，Steam游戏平台上的诸多付费游戏也都提供了免费试玩。DEY等［7］指出，对于软件这类体验型产品，不同消费者在亲自体验之后对产品价值的判断可能会存在差异。WANG和ÖZKAN-SEELY［8］指出，对于软件等新产品，商家都倾向于为用户提供一段免费的试用期，且这一试用期的长短可以作为一种有效的信号工具，与价格信号互相补充，向消费者传递产品质量信息。他们的研究结果显示，相比于低质量的产品而言，更长的试用期和更高的价格能为商家带来更高的利润。该结论对异质性偏好的消费者或者在竞争环境下同样适用。LIU等［9］基于淘宝数据实证研究了线下免费的产品（如通过在线渠道进行的实体商品抽样活动）在线上产生的信号作用，结果表明，在各种产品类型中，体验产品从抽样规模的信号效应中获益最大，而搜索产品的获益最小。
最后，从网络效应的角度分析，相关文献的主要观点是免费能吸引更多用户，从而提高产品的价值，例如，游戏产品会因为玩的人越多而越受欢迎［10-13］。对于存在广告商的媒体平台，免费能吸引更多用户，使得广告商能获得更强的交叉网络效应，平台也因此能收取更高的广告费。ANDERSON 和PEITZ［14］发现，广告商、平台和消费者之间的利益紧密捆绑：一方面，当媒体平台通过免费提供内容来吸引消费者，而平台的收入来源主要是广告，且观看广告会降低消费者的效用时，消费者和广告商之间就存在此消彼长的“跷跷板”关系；
另一方面，当平台采用双边定价或者消费者喜欢观看广告时，广告商与消费者之间的利益则存在一致性。CARRONI和PAOLINI［15］研究了流媒体平台的up主制作并上传视频内容，而平台向广告商收取广告费的现象。用户作为平台要争夺的资源，一方面能为流媒体平台上的up主带来更高的效用，另一方面也是广告商想要投放广告的对象，他们研究发现，增加用户的数量能激励平台提高广告强度，同时提高对收费会员提供视频内容的更新频率；
当用户达到一定数量时，平台会选择纯粹基于订阅的业务模式。
这些研究为理解平台免费策略提供了洞见。因此，本文也将从网络效应的角度来探讨平台的免费策略。不同的是，本文更关注平台对部分用户收费为零这一特殊情形，探讨免费成为均衡策略的可能性。这既不同于以ANDERSON和PEITZ［14］研究为代表的媒体平台模型①在ANDERSON和PEITZ［14］的模型中，对用户免费是外生给定的（即平台对用户免费，收入主要来源于广告商），而非平台内生的决策。，也不同于以LIU和SERFES［16］研究为代表的平台价格歧视模型②LIU和SERFES［16］的模型主要是在竞争环境下，考虑基于边际网络效应差异化的价格歧视，并没有涉及产品本身的质量差异，并且在他们的模型中对低端用户免费并非均衡。相关地，如果只考虑纵向化的产品质量差异，免费提供低质量产品并非平台最优策略，参见潘见独等［17］。本文则在上述文献基础上着重探讨免费成为均衡策略的可能性。。并且，本文区分了产品质量和网络效应这2个因素，探讨了在网络效应相同的情形下产品质量差异对均衡的影响，这一点区别于传统的双边市场模型［1-2］，也不同于CHENG 和TANG［12］关于软件免费策略的研究。同时，本文对网络效应的讨论也不局限于单边的自网络效应（用户），还考虑了用户与广告商之间的交叉网络效应，使得本文区别于产品线设计的文献［18］。最后，本文也不同于王勇等［19］关于平台最优分层设计的研究，与他们的模型类似，本文放宽了双边市场理论中关于用户同质性的假设，但他们更关注用户间错配对用户效用及平台分层设计的影响，而本文则侧重于产品质量和网络效应的差异对平台定价策略的影响。
为方便说明，本文以婚恋网站为例来构建模型。对于其他存在类似商业逻辑的平台，本文的模型同样适用，例如视频网站（如Bilibili、腾讯视频、Netflix）、社交媒体平台（如微博、Facebook、Linkedin）、网络游戏等。考虑婚恋网站推出2种会员制，普通会员（a）和高级会员（b），定价满足pb＞pa≥0。用户在成为高级会员后，能从平台享受更优质的服务，即qb＞qa＞0。不失一般性，假设平台的会员服务成本为0。
假定市场上有1单位的用户，对产品或服务质量的偏好t服从在[0，1]上均匀分布。用户不购买任何会员服务时，能获得0的效用。若用户购买i级别会员，可以获得的总效用是
其中：i∈{a，b}，αi代表当用户购买i级别会员时能获得的边际网络效用，满足αb≥αa＞0；
N代表总的购买会员的用户数量，满足N=Ni+N-i，Ni与N-i分别代表购买i和-i级别会员的用户数量，例如，i=a，那么，-i=b。
在本文的模型中，用户的效用除了来自其他用户的网络效应（αiN）外③根据经典的双边市场理论，婚恋网站上的用户数越多，每个用户获得的网络效应也越强，这种正效应包括认识更多朋友、找到心仪对象的可能性越大。，还包括产品质量（qi）本身。例如，婚恋网站可以为高级会员提供更好的婚恋咨询服务，使得qb＞qa，这一设定区别于经典的双边市场理论框架［1-2］。并且，本文考虑了用户对产品质量的异质性偏好（t），这一点也不同于LIU和SERFES［16］在研究平台价格歧视策略时关于用户同质性偏好的假设。
婚恋网站的利润来自对不同会员收取的会员费。以Πb代表平台只提供高级会员服务时的利润，Πab表示平台同时提供普通会员和高级会员时的利润，则Πb和Πab分别为
如果平台的均衡策略是对普通会员免费（pa=0），那么从利润最大化的角度，平台必定要能通过免费获得利润，而这只可能通过从高级会员那里获得更大利润来实现。为方便对平台免费策略的研究，本文定义免费均衡如下。
在免费均衡中，平台同时提供普通会员和高级会员服务，并且p*a=0，p*b＞0，Π*ab＞Π*b，此时，
本文对免费均衡的讨论是在用户异质性偏好的前提下展开的。换言之，同样的产品质量或网络效应，能给不同的用户带来不同的效用。在此前提下，实现免费均衡有2个重要条件：①平台有动机同时提供2种会员服务；
②在这2种会员服务中，平台的最优策略是对其中一种定价为0。若第1个条件不满足，那么，平台会放弃部分用户，专注于另一部分用户的市场。此时，平台将向市场中提供同质化的产品，免费不会成为平台的最优策略。若第2个条件不满足，即使平台向市场提供差异化的产品，但平台的最优策略并非对部分产品定价为0。因此，本文所关注的免费均衡必须同时满足上述条件。
本文的模型主要包括2个阶段：在阶段1，平台推出某种会员服务的组合；
在阶段2，用户在看到平台推出的会员服务后，更新其他用户会购买会员服务的信念，并做出购买决策。
本文求解的均衡是子博弈完美纳什均衡（subgame perfect Nash equilibria，SPNE）。下述引理表明SPNE只可能是如下2种情形之一④本文所有证明在文中省略，可向作者索取。。
引理1 普通的均衡策略是如下2种情形之一：①只提供高级会员服务；
②同时提供普通会员和高级会员服务。
引理1表明，平台不会只提供普通会员服务，因为此时平台可以通过调整高级会员价格，使得至少有部分顾客愿意购买高级会员。相比于只提供普通会员，婚恋网站能通过同时提供普通和高级会员服务来获得更大利润。
在平台定价的实践中，采用策略①的例子包括流媒体平台Netflix只为付费会员提供观影服务，Steam平台上提供的诸多游戏均需要用户付费购买才能使用。策略②和产品线设计的思路更为接近［20］，即同时提供不同产品质量和价格的组合供顾客挑选，这一思路在平台的实践中也十分普遍，例如：喜马拉雅既对免费用户开放部分节目，也为付费会员提供了更多内容；
网易云音乐同时提供了音乐包和黑胶VIP的差异化服务，两者都能享受会员曲库，但后者还能免广告并享受更多特效权益；
珍爱网也推出了不同价位的会员服务。
进一步地，本文对引理1涉及的2种均衡策略展开如下分析。
1）当平台只提供高级会员服务时，则利润函数是Πb=Nb pb，并且Nb=1-tb，其中tb为临界点的偏好。若偏好t＞tb，用户会决定购买高级会员服务；
若t≤tb，则用户不会购买。临界点tb满足Ub(t)=0，即αbN+tbqb-pb=0，解得tb=
2）若平台同时提供普通会员和高级会员，利润函数满足Πab=Na pa+Nb pb，并且N=Na+Nb。当用户的效用满足Ub(t) ≥Ua(t)时，用户会优先考虑高级会员，记临界点偏好为tab；
满足Ua(t) ≥0的临界偏好记作ta，则tab和ta满足
并且Na=tab-ta，Nb=1-tab，N=Na+Nb，可以解得
上述2种均衡策略的分析如图1所示。
图1 平台的均衡策略分析Fig.1 The analysis of platforms’ equilibrium strategies
基于上述分析可以得出如下推论。
推论1 若平台的均衡策略是同时提供2 种会员服务（即Na＞0，Nb＞0），则{ta，tab|0 ≤ta＜tab＜1}，或者等价地
否则，平台的均衡策略是只提供高级会员的服务（即Na=0且Nb＞0）。
推论1 表明，若对普通会员免费是平台的均衡策略（即p*a=0），那么，要满足ta≥0，必须有αa＞qa。这表明，免费均衡只可能发生在网络效应比较强的情形，否则，平台的最优策略是只提供高级会员的服务。
在αa=αb=α时，推论1中关于ta＜tab的条件可以简化为（p*a=0时）
不等式（5）的成立需要边际网络效应α取值较大，否则，当α无限接近于qa时，不等式（5）不再成立，由推论1可知，此时平台的最优策略是只提供高级会员服务。不等式（5）的成立还需要平台对高级会员的定价pb不能太低，否则平台对普通会员免费所造成的利润损失不能通过高级会员部分来弥补。
在αb＞αa时，推论1中关于ta＜tab的条件可以简化为（p*a=0时）
不等式（6）的成立需要αb相较于αa的取值较大，即高级会员能获得更强的边际网络效应。这表明，当普通会员和高级会员获得的边际网络效应差异越大时，同时提供2种会员服务越有可能成为平台的均衡策略。换言之，当平台难以制造会员之间差异化的网络效应时，平台提供单一的定价方案可能优于提供不同的定价方案。典型的案例为，流媒体平台Netflix只有付费会员才能观看平台的节目。Netflix的用户之间难以形成差异显著的网络效应⑤未涉及广告商的情况。。相比之下，相亲网站（如珍爱网）就能倾向于提供不同档次的会员服务，例如，免费用户只能观看其他用户的部分图片而无法获得联系方式（αa较小），付费用户则能获得更多与其他用户交流沟通的机会（αb较大）。
进一步地，本文将通过下列2个命题分别探讨不同用户群体的边际网络效应相同或不同时免费均衡存在的可能性。
命题1 当普通会员和高级会员的边际网络效应相同即αa=αb=α时，不存在免费均衡。
命题1 表明，当普通会员和高级会员能享受到相同强度的网络效应时，对部分用户免费并不能成为平台的均衡策略。换言之，如果给不同用户群体提供的服务差异仅仅体现在产品质量差异上，此时不存在免费均衡。当平台同时提供普通会员和高级会员服务时，平台的最优策略是对普通会员和高级会员均收费，这与ANDERSON 和CELIK［21］关于产品线设计的结论以及潘见独等［17］关于平台设计纵向质量差异的产品策略类似，即，对于一个追求利润最大化的平台来说，免费提供低质量产品并非最优策略。
只有当平台能通过免费获得更大利润时，免费才可能成为平台的长期均衡策略。当平台将对普通会员的收费由pa＞0降至pa=0时，平台从普通会员处获得的利润也将减少为0，此时唯有从高级会员处获得更大的利润，平台实施的免费策略才会有利可图。然而，由于普通会员和高级会员的边际网络效应相同，平台通过降低对普通会员的收费而吸引的用户带来的网络效应增加，对于普通会员和高级会员来说增幅是相同的。然而，由于普通会员的收费降低至0，对于原本的边际用户（偏好处于tab，即购买2种会员服务无差异）来说，购买普通会员会变得比原来更有吸引力。此时，平台不能从高级会员处获得更大的利润，免费均衡不存在。事实上，当边际网络效应较强时，普通会员与高级会员之间服务质量的差异不明显（相较于网络效应来说），此时平台的最优策略是只提供高级会员的定价；
反之，当边际网络效应较弱时，平台若采取免费策略，吸引过来的新用户对高级会员的效用提升有限，使得平台不能通过对高级会员收取高价来获得更高的利润，从而弥补对普通会员免费造成的利润损失，此时平台的均衡策略是同时向普通会员和高级会员收费。
命题1 的结果可以对应许多平台的实践，尤其是当平台没有或者难以差异化用户的网络效应时。Netflix 所有用户几乎都能获得同样的和其他用户交互的机会，如评论和打分，这使得Netflix 采取的策略就是对所有平台上的用户收费。在许多手机通信工具上（如陌陌、探探），无论用户是否成为平台的付费会员，用户彼此间都可以自由地发送信息，使得付费用户和免费用户能获得同样的网络效应⑥这类平台能长期对部分用户免费的重要原因是引入了广告商，本文将在下一部分详细讨论。。此时平台的网络效应相对简单直接，平台较难限制免费用户的网络效应。
在CHENG和TANG［12］关于软件厂商是否为部分用户提供免费版的分析中，他们提出，网络效应的强度会影响软件厂商的决策，这不同于本文命题1的结果。造成这种差异的原因是，在CHENG和TANG［12］的模型中，网络效应的强度会影响用户对产品质量的偏好，没有将网络效应和产品本身的质量进行区分。但是，本文认为这种区分在实践中具有重要意义。用户从平台获得的效用，既包括平台提供的产品本身所带来的效用，也包括与其他用户交互所产生的网络效应。例如，用户在视频网站上发表的弹幕和评论能产生网络效应，平台提供的视频本身也能对用户产生正的效用；
在网络游戏中，玩家能从与其他玩家的互动中获得网络效应，游戏本身也能为玩家带来效用，一些缺少玩家间互动的单机游戏同样也受到诸多玩家的追捧。
当普通会员和高级会员的边际网络效应强弱存在差异时，可以得出如下命题。
命题2 当普通会员和高级会员的边际网络效应不相等即αa≠αb时，若满足以下条件，则存在免费均衡
命题2表明，当普通会员和高级会员获得的边际网络效应不同时，免费均衡的存在需满足2个条件：①相比于普通会员，高级会员能获得足够强的边际网络效应；
②普通会员能获得的边际网络效应不能太低。条件①由不等式（7）可以直接得出（αb的取值要足够大）。关于条件②，当αa减少1 单位时，不等式（7）的左边会减少1 单位，不等式（7）的右边减少幅度超过了1 单位，这由可知。因此，当αa足够小时，不等式（7）将不再成立。
命题2较好地解释了许多平台定价策略的实践。成为高级会员意味着用户向平台交付了“入场券”，使得用户能获得更强的网络效应；
免费成为平台普通会员的用户，能获得一定强度的网络效应，但要弱于高级会员。典型的案例为，在婚恋网站上付费用户和免费用户能享受不同强度的网络效应，即免费用户只能看到其他用户有限的资料（例如部分个人照），但无法获得联系方式来进行进一步沟通，而付费用户则能解锁更多权限，浏览更多其他会员的资料。类似地，Linkedin上的免费用户也只能浏览其他用户有限的求职资料。可以看到，一些网络游戏也采取了相似的策略，VIP玩家（付费用户）能获得更多与其他玩家互动的机会，例如，建立游戏公会、成亲、建立师徒关系等，而非VIP玩家（免费用户）则只能使用游戏的基本功能，在与其他玩家的交互方面受到限制。同样地，国内外诸多同步网盘软件（如坚果云、Dropbox）也采取了类似的策略，除了获得软件基本功能的差异外，付费用户还能够比免费用户更好地与其他用户互动，例如，付费用户能与其他用户分享更大容量的文件、与更多用户建立群组、与其他用户建立共用的同步文件夹等。
本节考虑平台上除了有会员之外，还存在广告商的情形。前文的分析已经表明，免费均衡只会存在于普通会员和高级会员的边际网络效应不对称的情形（详见命题1和命题2）。本节将重点关注广告商的引入是否会使得免费均衡也存在于边际网络效应对称的情形，即αa=αb=α时⑦αa ≠αb时也会存在免费均衡，因为广告商的引入使得平台可以从更多维度来区分会员，例如，高级会员不会受到广告打扰，而普通会员则要观看广告。并且，当广告商的影响近乎为0时，即为命题2的情形。。
本文考虑高级会员不用看广告、普通会员需观看广告的情形。这种策略在诸多平台的定价实践中可以找到案例（如喜马拉雅的付费会员可以免除节目广告）。对于高级会员来说，获得的效用不变，即
对于购买普通会员的用户来说，能获得的效用是
其中，A代表平台上的广告商数量，δ是每位广告商给用户带来的边际影响。假设δ＞0，即广告会给用户带来不悦，降低用户的效用。广告通常会干扰用户观看平台内容，对用户来说，负效应通常大于可能的正效应［22］。与ANDERSON和JULLIEN［23］的设定一致，本文也假设广告带给所有的用户的效用都是相同的，即δ对于不同用户来说没有差异。
在平台另一边的广告商，加入平台需要支付广告费r＞0。广告商与每一位用户互动所能获得的边际效应是β＞0。通过与平台上更多的用户互动，广告商能获得更大的正向网络效应。假定每位广告商对应一条广告，广告商的效用独立于平台上其他的广告商。上述这些假定与ANDERSON 和PEITZ［14］的模型假设相吻合。参照ZENNYO［24］的方法，将不同广告商的类型刻画为s，且s服从[0，∞)上的均匀分布。将类型s理解为广告商的外部选择或者是进入成本，类型s的广告商加入平台的效用是
与ANDERSON 和JULLIEN［23］的简化相同，本文中所有的广告商能从每位用户获得的边际网络效应不变，即β不会随着广告商或者用户的差异而变化，理由如下：①每位广告商从每位用户所获得的效用很有可能是独立于特定的平台的；
②每位用户能给广告商带来的价值也通常独立于用户的总数。
广告商会加入平台的条件是V＞0，或者等价地s＜βN-r。由s服从均匀分布可知，平台上的广告商数量满足
式（9）中普通用户的效用可以进一步简化为
基于上述设定，获得如下引理。
引理2 引入广告商后，平台的均衡策略是如下2种情形之一：①只提供高级会员服务；
②同时提供普通会员和高级会员服务。
引理2表明，在引入广告商后，平台不会只提供普通会员的服务，因为此时平台可以通过调整高级会员的价格来同时提供普通和高级会员服务，以获得更大利润。这一结论与引理1一致。类似地，对引理2中的两种均衡策略具体分析如下。
1）当平台只提供高级会员服务时，则利润函数是Πb=Nb pb，并且Nb=1-tb，其中tb为临界点的偏好。若偏好t＞tb，用户会决定购买高级会员服务；
若t≤tb，则用户不会购买。临界点tb满足Ub(t)=0，即αN+tbqb-pb=0，解得
2）若平台同时提供普通会员和高级会员，利润函数满足Πab=Na pa+Nb pb+rA，并且N=Na+Nb。当用户的效用满足Ub(t) ≥Ua(t)时，用户会优先考虑高级会员，记临界点偏好为tab；
将满足Ua(t) ≥0的临界偏好记作ta。结合式（11）中关于广告商数量A的表达式，则tab和ta满足
并且Na=tab-ta，Nb=1-tab，N=Na+Nb=1-ta，可以解得
上述2种均衡策略的分析亦可如图2所示。
图2 平台的均衡策略分析（引入广告商后）Fig.2 The analysis of platforms’ equilibrium strategies after incorporating advertisers
类似地，推论1的结论在平台引入广告商后同样适用。基于上述分析得到以下命题。
命题3 当普通会员和高级会员的边际网络效应相同即αa=αb=α时，在平台引入广告商后，若满足以下条件，则存在免费均衡
命题3表明，当广告商加入平台后，即使不同用户群体所获得边际网络效应相同，免费均衡也有存在的可能。①用户对广告的厌恶程度不能太高，否则，即使平台提供免费的普通会员服务，但由于广告给用户带来的负效应过大，用户也不愿意加入平台，使得平台吸引不到免费用户。②广告给用户带来的负效应也不能太低，否则，用户也会缺少动力购买高级会员以免除广告，平台也不能从高级会员处获得更多利润。对比命题3 和命题1 可以发现，广告商对用户效用的影响不能简单理解成产品质量qi的一部分，否则，命题3的结果将和命题1类似。造成这一差异的重要原因是，用户数量的变化会影响广告商的效用，进一步影响平台对广告商的定价，反过来又会影响广告商加入平台的决策，从而影响用户的效用。换言之，如果将广告看作是“产品质量”的一部分，那么，这个质量将是内生，会受到用户自身决策的影响。这一点区别于传统的产品质量是外生给定的或者由平台内生决定的［18］。
命题3也表明，当β越高或者qb-qa越大时，均会弱化式（15）中对δ的约束。这意味着，当用户对广告商的边际网络效应越强或者产品间质量差距越大时，对δ的要求就会越弱，平台也越有可能采取免费均衡策略。
命题3 的结果很好地解释了诸多平台免费策略的实践。典型的例子有腾讯视频、爱奇艺、优酷等。在这类视频网站上，购买了VIP的用户（高级会员）观看节目可以免广告，免费用户（普通会员）能观看视频节目，但需要看广告。视频网站通过免费来吸引更多用户，既能提高用户的自网络效应（αN），也能使得广告商获得更强的交叉网络效应（βN）。如果每位用户对广告商的价值较大（β较大），那么，平台也更愿意对用户免费，因为此时免费用户的增加能大幅度提高平台对广告商的议价能力。
另一方面，如果视频网站引入了一些高质量（热播）的电影或电视剧，那么，视频网站通常采取的策略是：免费用户只能观看部分内容，而VIP用户可以解锁更多视频内容。此时，VIP用户和免费用户获得的产品质量差异（qb-qa）较大，尽管VIP用户和免费用户获得的自网络效应几乎无差异（所有注册用户都能通过弹幕和评论等方式互动），但对部分用户免费依然是平台的长期均衡策略。
4.1 平台内生化产品质量和边际网络效应
现实中，平台内生决定产品质量（q）和边际网络效应（α）的情形也较为常见。例如，平台可以通过分层设计来区分不同的质量和边际网络效应［19］。典型的例子包括：滴滴出行依据车型将服务区分为“快车”和“专车”，进一步还划分了“顺风车”和“优享”等不同层次，进而内生地影响用户获得的服务质量水平；
“珍爱网”和“百合网”等婚恋网站依据不同会员等级进行推荐匹配，高级会员能从更全面的会员库里匹配相亲对象，而普通会员则只能从部分的会员库中进行匹配，进而内生地影响用户获得的边际网络效应。为此，本文考虑平台内生化q和α的情形对主要结果进行稳健性检验。内生化决策后，会对原有模型的求解带来一定的技术挑战。为方便计算和结果解释，本文考虑用户偏好为离散的情形。为更好地研究平台内生化q和α的影响，本文考虑用户偏好同时会影响q和α的情形。假设用户的偏好为θb和θa的概率分别是λ和是1-λ，其中，θb=1，0＜θa＜1且0＜λ＜1。对于偏好为θb的用户，可以理解为高品质用户，他们对质量和网络效应的变化更敏感，相应地支付意愿也更高；
θa则代表低品质用户，质量和网络效应的变化对他们的影响相对较小，支付意愿也相对较低。用户购买产品i的效用是
其中：i∈{a，b}；
N代表的购买会员的用户总量，满足N=Ni+N-i；
pi代表平台对产品i的定价。用户的外部选择（不购买会员时的效用）满足v≥0。
当平台确定产品质量和边际网络效应分别为q和α时，假设成本函数是关于q和α的二次函数，即C(q，α)=q2+α2，理由如下：①C(q，α)是关于q和α的增函数，符合现实中产品质量或边际网络效应越高，成本也相应增加的情形；
②0且，即成本会随着q和α的增加而增加，这一点也较符合现实中生产成本递增的情形；
③从求解上来看，二次函数的假设更有益于找到内点解。相应地，平台的利润函数是
基于上述设定，得出如下命题。
命题4 当平台内生地决定产品质量和边际网络效应时，若普通会员和高级会员的边际网络效应相同即αa=αb=α时，不存在免费均衡；
若普通会员和高级会员的边际网络效应不相等即αa≠αb时，存在免费均衡。
命题4表明，当平台内生化产品质量和边际网络效应后，免费均衡的存在有赖于差异化的边际网络效应，与命题1和命题2的主要结果一致，结果具有稳健性。为更好地解释命题4的结果，在图3中绘制了v=0.1情形下的均衡解。
图3 平台的均衡策略分析（平台内生化q和α）Fig.3 The analysis of platforms’ equilibrium strategies after endogenizing q and α
由图3（a）可知，当不同层级会员获得的边际网络效应相等时，平台的均衡策略只有两种，一是只提供高级会员，二是同时提供两种会员，但对普通会员的收费大于0。当低品质用户的偏好较低时，由式（16）可知，低品质用户的支付意愿也相对较低，平台从低品质用户获得的利润相对较低。当θa足够小时，平台的均衡策略是只为高品质用户提供高级会员。图3（b）表明，当不同层级会员获得的边际网络效应存在差异时，免费均衡有可能存在。当高品质用户占比较低（λ较小）时，免费均衡难以发生。此时，平台不能从高品质用户处获得足够高的利润来弥补对低品质用户免费带来的利润损失。
基于上述分析，可以得出如下启示。①差异化的边际网络效应是促成免费均衡的关键因素。当用户获得同质化的边际网络效应时，即使平台内生地影响产品质量和边际网络效应，免费也依然不能成为平台的长期均衡策略。因为当平台通过免费吸引到更多的低品质用户时，平台必须依靠差异化的边际网络效应，才能从高品质用户中以更高的价格获益，从而抵消免费带来的利润损失。②当平台提供差异化的边际网络效应时，若高品质用户的占比较低，免费均衡也依然难以发生。对应的现实启示是，当平台的目标用户主要是低品质用户且缺少支付意愿较强的高品质用户时，对部分用户免费并非是一个可持续的均衡策略。
4.2 考虑平台竞争的情形
考虑到平台间竞争也可能会对结果产生影响，本文引入经典的霍特林模型，研究2个同质化的平台之间的竞争。与前文的设定类似，本文也考虑消费者偏好为离散的情形，其中高品质（偏好为θb）和低品质（偏好为θa）用户占比分别为λ和1-λ，满足θb=1，0＜θa＜1且0＜λ＜1。当用户购买普通会员时，用户选择平台1和平台2的效用分别是
其中，pa1和pa2分别代表平台1和平台2对普通会员的定价；
N1和N2分别代表平台1和平台2的用户总数。当用户购买普通会员时，参数wx和w(1-x)分别刻画了用户对平台1和平台2的厌恶程度，其中：x和1-x分别代表平台1和平台2与用户预期目标之间的距离；
距离的边际系数w反映了不同市场的特征，当w较大时，用户对平台的选择主要取决于对平台的喜好程度，用户更倾向于选择与预期目标比较接近的平台，而当w较小时，用户对平台的选择则更依赖于产品质量的高低和网络效应的强弱。类似地，当用户购买高级会员时，用户选择平台1和平台2效用分别是
其中，pb1和pb2分别代表平台1和平台2对高级会员的定价。与x的解释类似，当用户购买高级会员时，y和1-y分别代表平台1和平台2与用户预期目标之间的距离。相应地，得出如下命题。
命题5 当普通会员和高级会员的边际网络效应相同即αa=αb=α时，引入平台竞争后，若满足下列条件，则存在免费均衡
命题5表明，在引入平台竞争后，即使用户间的边际网络效应相同，免费均衡依然可能发生。由不等式（20）可知，高级会员与普通会员之间的产品质量差距越大，免费均衡越有可能发生。相比之下，在单一垄断平台环境下，同质化的边际网络效应不会产生免费均衡（见命题1）。造成上述差异的主要原因在于，在竞争环境下，平台间更有可能“打价格战”［25-26］；
并且，当不同档次的产品间质量差异较大时，对部分用户免费将成为平台的长期均衡策略。
下列推论进一步给出了边际网络效应变化对免费均衡的影响。
推论2 引入平台竞争后，随着边际网络效应的提升，免费均衡越有可能发生。
推论2表明，边际网络效应的提升，会加剧平台对低品质用户的竞争，对低品质用户免费也更有可能成为平台的长期均衡策略。背后的逻辑在于，边际网络效应的提升提高了单个用户对平台的价值。换言之，低品质用户能为平台带来更强的网络效应，这也使得平台拥有更强的动力对低品质用户实行长期免费，以吸引更多用户。孙军和高彦彦［25］的研究也表明，网络效应的提升会使得价格竞争愈发激烈，与本文的结论具有一致性。图4展示了命题5和推论2的主要结论。在图4的数值模拟中，取w=1、θa=0.5以及λ=0.5，图4（a）～图4（c）分别选取了3个具有代表性的α值：0.1、0.5和0.8。
图4 平台的均衡策略分析（引入竞争后）Fig.4 The analysis of platforms’ equilibrium strategies after incorporating competition
对于追求利润最大化的平台而言，是否要对部分用户采取长期的免费策略，既要体现付费用户和免费用户之间的区分度，也应从用户给平台带来的价值方面来综合考虑。如果平台不能区分不同用户群体之间的边际网络效应，那么，平台对部分用户免费所造成的利润损失不能通过对另一用户群体收费来获得更高的利润补偿；
如果用户能给平台带来足够的价值，从长期来看，平台应对用户采取免费的策略。
对于垄断平台而言，应从不同用户群体所带来的网络效应的差异性来考虑。由命题1可知，如果付费用户和免费用户都能获得同样的网络效应，那么，仅仅依靠产品本身的质量差异不足以维持免费均衡。此时平台策略是对所有用户统一收费或者基于产品质量提供差异化的收费策略。无论哪种情形，对部分用户免费都不能给平台带来更大利润。此时，平台对部分用户免费造成的利润损失不能从另一部分用户中获得更高的利润补偿。原因在于，平台通过免费吸引来的新用户，提高了所有用户群体的网络效应，而低端产品由原来的收费变为了免费，使得原来对购买低端产品和高端产品无差异的用户现在更偏好于购买低端产品，因此，免费并不能使得平台获得更高的利润。然而，如果不同用户群体获得的边际网络效应存在差异，由命题2可知，只要这种差异在一个合理的区间内，使得平台既能通过免费吸引到部分用户，也存在部分用户向平台付费以获得更高的网络效用，这时平台对部分用户将会是一种长期均衡策略。
免费用户对平台的价值会受到广告商和平台竞争的影响。一方面，广告商的加入使得免费用户对平台产生了更大的价值。由命题3可知，此时即使付费用户和免费用户之间的边际网络效应没有差异，免费依然能成为平台的均衡策略，只要用户对广告存在一定的厌恶程度（部分用户有动力付费来免除广告），但这种厌恶又不至于过于强烈（否则免费也不足以吸引用户），平台对部分用户所造成的利润损失能同时从收费用户和广告商处获得更高的利润补偿。另一方面，引入平台竞争会加剧平台间对用户的“价格战”。由命题5可知，只要不同层级的产品间质量差异足够大，即使在同质化的边际网络效应前提下，免费均衡也依然可能存在，并且随着边际网络效应的提升，平台越有可能对部分用户实行长期免费策略。
本文对平台定价的启示如下。①对于以单边用户为主的垄断平台来说，如果不同用户群体获得的边际网络效应相同，平台的最优策略是对所有用户收费，不存在对部分用户免费。当平台难以区分不同用户群体的网络效应时，例如，Netflix所有用户几乎都能获得同样和其他用户交互的机会（如用户评论、打分），Netflix采取的策略就是对所有平台上的用户收费。②对于以单边用户为主的垄断平台来说，如果不同用户群体获得的边际网络效应存在差异，免费均衡的存在要求高级会员能获得更强的网络效应，而普通会员用户能获得的网络效应也不能太弱。典型的例子包括，婚恋网站对免费用户的交互功能进行了限制（如只能看其他用户的部分图片而不能获得联系方式），只有付费用户才能解锁更多的交互功能。③在引入广告商或平台竞争后，即使用户间存在同质化的边际网络效应，免费均衡依然可能存在。当产品间的质量差异越大，长期免费也越有可能发生。常见的例子有腾讯视频、爱奇艺等，在引入高质量电视剧或电影后，网站倾向于对免费用户开放部分内容，VIP用户则可以观看更多内容，这种提高产品间质量差异的策略使得免费均衡更有可能在视频网站上长期存在。
本文对平台反垄断的启示在于监管部门应对平台遵循“状态监管从宽，行为监管从严”的原则。网络效应的存在使得对于传统企业几乎不存在“免费”策略，在平台企业却可能长期存在。这也使得平台企业能通过免费甚至补贴的方式迅速占领市场，导致用户集中在少数几家垄断平台上。对于这种市场高度集中的状态，监管部门应从宽处理［27-28］。这种状态使得用户在平台上有机会与更多用户交互，获得更强的网络效应，广告商也有机会同时接触到更多的用户，部分用户甚至还能长期享受免费的福利。因而，监管部门不应简单地从市场集中度的角度来制定反垄断政策，实际上这种状态反而可能对各个群体产生好处。然而，对于平台滥用市场支配地位的行为监管部门应严加处理。
本节将结合现实中的平台免费策略实践，主要通过典型案例分析的方式，提炼现实案例的典型特征，并结合理论模型展开分析，验证模型涉及的假设和主要理论结果。
6.1 案例一：婚恋网站
婚恋网站的盈利主要通过向用户收取会员费，较少通过广告收入，对应了本文不考虑广告商时的基准模型。纵观目前主流的婚恋网站，多采用“免费”加“付费”的经营模式，且存在对部分用户长期免费的定价策略。典型的婚恋网站有“世纪佳缘”“百合网”“珍爱网”和“一线姻缘”等。结合命题2的分析可知，平台实行长期免费策略的必要条件是能在不同的用户间形成异质性的边际网络效应。这一点在婚恋网站的实践中也得到了很好的体现。以“世纪佳缘”为例，免费注册的会员可以在网站上查看其他会员的照片和兴趣爱好，但不能进一步获得具体的联系方式，需要付费才能进一步解锁。进一步地，付费用户还能享受优质对象推荐、线下活动和红娘服务专区等服务。婚恋网站对免费用户和付费用户提供的差异化服务，使得免费用户和付费用户获得的边际网络效应也存在不同。这种策略下，婚恋网站上增加的单位用户给付费用户将带来更大的效用。此时，婚恋网站对部分用户免费是长期可持续的均衡策略。命题2的结论为解释这类“免费”现象提供了一个可行的视角。
6.2 案例二：社交媒体平台
对社交媒体平台而言，广告是非常重要的收入来源，与本文引入广告商时的情形相对应。典型的社交媒体平台例子如新浪微博、Facebook 和Linkedin 等。在这类平台上，用户彼此间的交互不会受到平台的限制。换言之，无论是免费用户还是付费用户，在平台上获得的边际网络效应都相同，这一点与命题3讨论的情形一致。在这些社交媒体平台中，对用户免费是平台的长期均衡策略，与命题3的结论相契合。社交媒体平台通过免费吸引更多的用户、更加庞大的用户规模，使得平台对广告商也更具吸引力，收取更多的广告费用。这种商业模式也与经典的双边市场理论［1-3］相契合，即平台通过补贴（免费）某一边用户，提高平台对另一边用户（广告商）的吸引力，使得平台能通过从广告商获取更大的利润来弥补对用户免费造成的利润损失。
6.3 案例三：长视频平台和网络游戏平台
长视频平台和网络游戏平台的收入来源则更加丰富，既包括向用户收取会员费，也有部分收入来自广告费。典型的长视频平台有腾讯视频、爱奇艺、优酷、芒果TV和Bilibili等；
网络游戏平台最典型的例子有Steam、GOG.com和WeGame。长视频平台和网络游戏平台最重要的特征是，除了能像社交媒体平台一样提供用户交互的场所，这些平台本身还会向用户提供优质的内容。以“Bilibili”（以下简称B站）为例，用户一方面可以在B站上观看感兴趣的长视频内容，另一方面，也能与其他B站用户通过弹幕和评论进行互动。B站对用户间的交互行为没有做过多的限制（免费注册后，完成弹幕礼仪规范的答题即可），这一点与本文讨论的同质化边际网络效应情形相契合。然而，B站也通过“大会员”的形式对用户进行了区分，付费购买了“大会员”的用户可以观看更多的视频内容，而免费用户能观看的视频数量则受到了限制。这一点与拓展分析中的命题5讨论的情形相契合，即在同质化的边际网络效应下，免费策略长期存在的一个重要条件是不同级别的会员获得平台提供的产品质量存在差异。类似的例子也常见于网络游戏（如“原神”“王者荣耀”等），所有玩家彼此间的交互受到限制较少，但是付费的玩家可以获得更优质的游戏内容体验，如游戏皮肤、道具、升级经验加成等。
本文从经典的双边市场理论出发，对垄断平台实行长期免费均衡策略的可能性进行了探讨，分析了在只存在平台和用户（单边平台）的情形下不同用户群体获得的边际网络效应相同或者有差异时平台免费均衡策略存在的可能性。在此基础上，分别探讨了广告商、平台内生化产品质量和边际网络效应以及引入平台竞争后对平台均衡策略的影响。
主要结论如下。①若不同用户群体获得的边际网络效应具有同质性，对于单边的垄断平台来说，最优策略是对所有用户都收费，不存在免费均衡。②若不同用户群体获得的边际网络效应存在异质性，对于单边的垄断平台来说，当高级会员能获得更强的边际网络效应，而普通会员用户能获得的边际网络效应也不至于太弱时，对普通会员免费将成为平台的均衡策略。在考虑了平台内生化产品质量和边际网络效应后，上述两条结论依然保持稳健。③在引入广告商后，在同质化的边际网络效应下，免费均衡依然可能存在。随着用户对广告商的边际网络效应增强或者产品间的质量差异越大时，免费均衡越有可能发生。④在引入平台竞争后，即使用户间获得的边际网络效应无差异，免费均衡也有可能发生。并且，随着边际网络效应的增强或者产品间的质量差异扩大时，免费也越有可能成为平台的均衡策略。
本文还有待改进的地方，一是未探讨异质性平台间的竞争，如拥有更强市场势力的平台与新进入的小平台；
二是提供不同质量的成本差异也可能会对模型结果产生重要影响。并且，免费作为一种特殊的定价方式，实际上使平台企业减少了收费的成本（如支付结算），免费为平台企业和用户都带来了便利。免费的这种特殊性也可能是促成免费策略广泛存在的关键因素。本文并未对这一特征展开探讨。
未来对于用户异质性的讨论也可进一步细化，例如，高级会员的网络效用主要来自高级会员，受到普通会员网络效应的影响不强；
普通会员受到的影响也是更多来自普通会员而非高级会员的网络效应。这与王勇等［19］关于平台分层设计及用户间错配问题的讨论有类似之处。另外，新平台的进入对现有定价策略的影响需要更多关注与探讨；
平台多阶段策略也值得进一步研究，如第一阶段免费、后续收费也是常见的平台定价策略。