马敬武 谢建明 王 伟 谢红太
（1.华设设计集团股份有限公司， 南京 210014；
2.四川大学， 成都 610065）
既有铁路曲线整正是铁路工务部门维修作业中的一项重点内容。曲线整正可使轨道结构保持标准状态，但列车运行中不可避免的轮轨碰撞使得轨道结构位置发生了变化，尤其线路曲线段的变化严重威胁着列车的运行安全。铁路运营维护中，曲线整正方法主要包括绳正法、偏角法和坐标法［1-2］。绳正法用于铁路日常维修，但易出现鹅头问题；
偏角法用于铁路大中修，行车干扰较大；
坐标法用于提速铁路大中修，精度高，不受行车干扰［3-4］。
近些年，很多学者对既有铁路曲线整正做了诸多研究，主要包括：刘鑫提出既有铁路曲线线性约束和非线性目标函数的最优化曲线整正研究，使得曲线整正约束条件和目标函数更精确、合理和科学［5-6］；
丁克良等利用最小二乘平差法，根据铁路线路特征及曲线整正要求，提出基于曲线平差法的数学模型计算曲线拨道量［7］；
王保成等根据既有无缝线路提速后曲线整正的实际要求以及保证拨正前后轨道长度不变，提出利用测点坐标直接进行无缝线路曲线整正的方法［8］；
杨辉等考虑了规范约束和控制点约束，基于罚函数的思想将曲线整正非线性约束转化为无约束问题，建立曲线整正最优化模型［9］；
秦方方等分析了拟合既有铁路平面线形时产生的主要误差，依据逆向重构理论，提出基于三次样条曲线的铁路既有曲线整正方法；
刘永孝等基于坐标法的渐伸线误差分析研究提出，曲线任意点拨距可通过对曲线测点沿径向到拨后设计曲线的距离来计算，该方法能够修正控制点的约束条件以达到约束条件对控制点拨距的限制；
刘文涛等利用最小二乘法求得初始半径及缓和曲线长，但计算数据较大且圆曲线长度较难确定［10-11］；
缪鹍等针对铁路既有曲线整正，提出基于PSO的既有线曲线整正方法，解决了现有计算中曲线线形参数初始值识别过程复杂的问题［12］。
本文在分析了传统曲线整正组成约束条件不足和曲线整正改变轨道几何长度造成的无缝线路锁定轨温变化［13］等基础上，提出了一种铁路既有曲线混合约束非线性最优化整正的研究方法。
铁路标准线形由直线、缓和曲线和圆曲线组成。随着科学技术的快速发展，铁路检测维修和养护技术也随之提高。轨检车作为重要的检测手段，成为判断轨道质量状态的重要工具。合理利用轨检车数据，并依此指导现场作业，对保持轨道良好状态水平十分重要。姚连璧等利用三次样条函数，将所有测点拟合成一条曲线，并计算各测点的曲率，通过稳健估计法在曲率图上进行铁路线形的识别［14］；
石培泽采用十一点曲率法得到测点近似曲率，按照设定阈值识别主点坐标，再根据主点坐标位置划分既有线路各点坐标，实现线形的粗略分段［15］。
分析轨检车数据，为进一步探究测点的准确性和适用性，用曲率变化率进行定量说明。曲率变化率示意如图1所示，对其中超过管理限值的点进行处理［16］，可获得符合线形要求的曲率图。由曲率图概略反应直线、缓和曲线和圆曲线等铁路线形参数，如图2所示，oa和de段为直线段，ab和cd段为缓和曲线，bc段为圆曲线段。
图1 曲率变化率示意图
图2 曲率示意图
2.1 计算初始圆心和半径
根据文献［17］，按照3点定圆，在曲率梯形图bc段取n + 2个点，可以确定n个圆心，再把圆心依次连接，组成1个n边形，n边形的几何重心就是要求的初始圆心。选取n边形某一点为顶点，将其分成n - 2个不交叉重叠的三角形，如图3所示。设圆心o1，o2，…，on的坐标分别为（p1，q1），（p2，q2），…，（pn，qn），o1为顶点，则n边形几何重心坐标（也即为初始圆心坐标）为：
图3 n边形几何重心示意图
初始半径R为：
2.2 计算初始缓和曲线长度
单曲线线形要素示意如图4所示，p1，p2是内移距，当圆心和半径确定，内移距即可确定。
图4 单曲线线形要素示意图
3.1 设计变量
参照图4 在前直线段上选取 A（xA，yA）、B（xB，yB）两点，后直线段上选取 C（xC，yC）、D（xD，yD）两点，则偏角对于特定的曲线，前后直线不变，则偏角α不变。经分析研究，不同的缓和曲线长度和半径，对应的拨道量不同，所以本次设计l01、R、l02为变量，即X→= （l01，R，l02）T。
3.2 约束条件
在保证曲线偏角α不变的基础上，综合考虑的约束条件有：
（1）起、终点拨道量为0。
（2）轨道几何长度保持不变。
（3）桥、隧等大型构筑物控制点位置拨道量小于规定的限值。
（4）曲线半径和缓和曲线长度满足TB 10098 -2017《铁路线路设计规范》和TG／GW102 - 2019《普速铁路线路修理规则》的规定，曲线半径取整，缓和曲线长度为10 m整倍数。
针对上述约束条件，设约束方程表达式为：
式中：H、G——基本约束矩阵，H→=（h1，h2，…，hm）、
→G→=（g1，g2，…，gn）；
→m和n——基本约束个数；
→X——设计变量；
→W——基本约束矩阵中的设计允许值，W→=（w1，w2，… wm）T；
→L——曲线长度。
式中：w1、w2、w3——规范中对应 l01、R、l02的最小允许值；
w4、w5、w6——规范中对应 l01、R、l02的最大允许值的负值；
w7——规范中圆曲线长度的最小允许值。
3.3 目标方程
以拨道量的平方和最小为目标，即
式中：D——N个分量的向量函数，其分量di（X）是分片函数的子式。
综上，可得曲线整正优化计算模型：
由式（9）可得，该计算模型为含有不等式和等式混合线性约束的非线性目标函数最优化模型。
3.4 目标方程求解
利用可行方向法求解本文计算模型。如果式（9）存在非零向量dk同时满足Gdk= 0，则dk是X处的可行下降方向。设Xk为可行域中的可行点，从Xk出发，沿dk作一维搜索，得后继迭代点Xk+1= Xk+λkdk，为保证Xk+1的可行性，进而求解式（10）带约束的一维最优化问题。
本节课的读中活动，教师有意识地指导学生运用阅读技能分析特定段落，提高学生解读英语篇章组织结构的能力，将其迁移到写作中，做到了“读中有写”。
具体计算步骤如下：
（1）初始值 X0，令 k→= 0，允许误差ε＞ 0。
（2）根据Xk处的起作用约束，把H分解为H1和H2，W分解为W1和W2，使得 H1TXk=W1，H2TXk=W1，计算
（3）求解式（11）最优解 dk：
按式（12）求出λmax；
求解最优解λk，令 Xk+1= Xk+λkdk， k→= k + 1，返回步骤（2）。
3.5 计算流程
本文模型计算流程如图5所示。
图5 计算流程示意图
本文模型在兰新铁路大中修中得以应用验证。兰新铁路，东起甘肃省兰州市，途经万里长城西端嘉峪关，西至新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市，全长2 423 km。其中兰州至嘉峪关段全线为双线电气化铁路，嘉峪关至乌鲁木齐段为单线电气化铁路。
以兰新铁路K 109 + 280～K 109 + 820段为例，曲线偏角α= 10.6°（左偏），半径R = 2 000 m，缓和曲线长度L0= 160 m，沿线经过1座小桥和1座中桥，桥头桥尾可作为拨道量控制点位置。首先利用轨检车采集坐标数据，轨检车数据里程相对于现场实际里程会有一定的飘移，但在计算中，每次迭代计算都是某一点或者一小段的计算，对计算结果影响不大［18］。随后利用计算机程序设计语言Python进行自主编程计算最优拨道量。
4.1 计算交点坐标和偏角
计算交点坐标和偏角如表1所示。
表1 交点坐标和偏角表
4.2 计算初始圆心坐标、半径和缓长
计算初始圆心坐标、曲线半径和缓和曲线长度如表2所示。
表2 初始圆心坐标、半径和缓长表
4.3 计算拨道量并优化
表3 间隔20m测点坐标及拨道量表
（1）为了使得轨道几何长度在拨道前后不变，可以将其长度作为约束条件，可以满足半径和缓长取整的要求。
（2）相比于传统拨道量，优化后的拨道量结果明显较好，表明该模型具有较好的准确性和优越性。
（3）本文模型约束条件均来源于TB 10098 - 2017《铁路线路设计规范》、TG／GW 102 - 2019《普速铁路线路修理规则》，所以该方法适用于客货共线、重载铁路以及铁路大提速既有曲线整正。
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