娄汝馨 ，崔 嵬
（1.保定学院 数据科学与软件工程学院，河北 保定 071000；
2.天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）
二重数值积分在科学计算中具有非常重要的作用，关于矩形域上的数值积分方法已有一些研究成果，张凯院给出了单位正方形区域上的一个数值求积公式[1]，邢会超等给出了矩形域上的梯形求积公式、抛物线求积公式、复化梯形求积公式和复化抛物线求积公式[2]，陈亚婷等把一个区间［a，b］上具有7次代数精确度的求积公式应用到矩形域，并给出了截断误差估计[3].而对于不规则区域的二重数值积分的研究相对较少，何洪英等给出了坐标平面上的两组通用计算公式，并通过数值算例给出了八类积分区域的分割方法[4]，但没有给出具体节点以及节点处函数值的权重系数，朱振广则用Simpson方法和三点Gauss公式构造出复杂区域上的一种二重积分计算方法[5].
本文将针对圆域上的二重积分，给出区域的分割方法，确定节点，并建立数值积分公式.
圆形区域上的数值积分，没有现成的公式可以套用，下面尝试将圆域分割成矩形域进行近似计算.对于圆的切分，最直观的想法是做过圆心的若干直线将其等分.下面以圆心位于原点、半径为r的圆域为例进行说明.
2.1 圆形区域的分割
首先利用坐标轴将其四等分.过圆与坐标轴的交点，做平行于坐标轴的直线，将圆域“罩起来”，此记为第一次分割（见图1），此时整个区域是由2个矩形组成，规定x轴上方的为D1，x轴下方的为D2，此时分割圆弧所对的圆心角为α1=2-1π，可以把圆域上的积分近似用矩形域来代替，但此时矩形域会多出很大一部分，误差明显很大.
图1 第一次分割
为了减小误差，继续分割，对圆周八等分.此时整个区域由4个矩形组成，圆弧所对的圆心角为α2=2-2π，规定由上到下的小矩形区域分别是D1、D2、D3、D4，此次分割记为第二次分割（见图2），每个区域的范围是：
图2 第二次分割
区域误差有所减小，继续进行第三次分割（见图3），此时整个区域由8个矩形组成，圆心角为α3=2-3π，每个区域的范围是：
图3 第三次分割
随着分割的次数增加，误差逐渐减小，分割一直持续下去，到第n次分割，此时把圆形区域转换成了2n个矩形区域，圆心角为αn=2-nπ，每一个区域的范围如下：
2.2 圆域上的梯形求积公式
由二重积分的可加性，圆域D={（x，y）|x2+y2≤r2}上的积分可近似等于每个小矩形域上的积分之和，即
当把圆域n等分时，记Di={（x，y）│xi≤x≤xi+1，yi≤y≤yi+1}，可知：xi=-r sin iαn，xi+1=r sin iαn，yi=r cos iαn，yi+1=r cos（i-1）αn.在每个小区间上使用二重积分的梯形求积公式，得
其中 1≤i≤2n-1，i∈Z，且 hxi=2 sin iαn，hyi=cos（i-1）αn-cos iαn.
同理可得，
其中 2n-1+1≤j≤2n，j∈Z，且 hxj=2 sin（2n+1-j）αn，hyj=cos（2n-j）αn-cos（2n+1-j）αn.把上面两部分区域的积分累加，得圆域上的梯形求积公式：
这时，hxi、hyi、hxj、hyj是不依赖于函数 f（x，y）和区域半径 r的常数，可以事先计算出来.
2.3 圆域上的复化梯形求积公式
观察圆域上的梯形求积公式（*）不难发现，求积公式的本质为节点处函数值的加权求和，而梯形求积公式的节点大都分布在圆域的边界线附近，如果被积函数是关于x和y的单调函数，势必会引起较大的误差，为了缓解由此带来的影响，可采取加密节点的策略，即在每个小矩形域上使用复化梯形或复化抛物线求积公式进行计算.
由于在圆域分割为矩形域的过程中，y轴方向已经进行了多次分割，可以只考虑在x轴方向上加密节点即可.
当把圆域分割n次时，圆域被近似分成2n个矩形区域（分割图可参考图3），并且D1与D2n，D2与D2n-1，…，D2n-1与D2n-1+1均关于x轴对称，对x轴分割后分点各自对应相等.下面不妨以x轴上方的区域Di为例来说明复化求积的思想.Di=（{x，y）│-r sin iαn≤x≤r sin iαn，r cos iαn≤y≤r cos（i-1）αn}，由于-r sin iαn≤x≤r sin iαn，把区间［-r sin iαn，r sin iαn］m 等分，分点为.
其他区域做类似变换即可.
计算二重积分∬x2+y2≤1e-（x2+y2）d x d y.
解：1）计算积分精确值.做极坐标变换，得
2）利用复化梯形求积公式（**），取 n=10，m=1，2，4，6，8，10（m=1 即为梯形求积公式）分别计算出近似值和误差的绝对值见表1.
表1 复化梯形求积公式计算结果
3）结果分析：由表1可以看到，当给定n值，m由小逐渐增大的过程中，计算值的误差逐渐减小，并最终趋向于零，误差随m变化的趋势见图4.
图4 误差走势
从计算结果可以看出，用上述复化梯形求积公式求解圆域上的二重积分具有理论意义和应用价值.
本文给出了用复化梯形求积公式求圆域上的二重积分的构造方法以及结果，并通过数值算例展示了误差的变化趋势，但还需进行严格的理论证明.未来，笔者将继续深入研究数值积分，尝试采用不对等剖分[6]或者分离截断误差与舍入误差的策略[7]提高算法的精度，并把数值积分方法推广到更一般的不规则区域.
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