罗诗栋,凌永辉
（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州 363000）
在动力学系统中,经典的Korteweg-de Vries(KdV)方程不能很好的描述波与波,波与壁碰撞的物理相互作用等问题,为了克服这些缺点,Rosenau[1]在1988年提出如下方程
式(1)之后被称为Rosenau方程.Park[2]证明了方程(1)解的存在唯一性,但其解析解仍难以求出.因此,大量的学者对该方程的数值求解方法进行研究.Chung 等[3-4]用有限元Galerkin 方法近似求解Rosenau 方程,Omrani 等[5-6]对Rosenau 方程分别建立了二阶精度和四阶精度保守恒的有限差分格式.若进一步考虑动力系统在空间中的损耗,如孔径传播现象和水波等问题,则需要添加一个粘性项-uxx,从而得到Rosenau-Βurgers 方程,该方程与Βurgers 方程有相似的耗散性[7].对于Rosenau-Βurgers 方程已有许多有效的有限差分格式被提出,如Hu 等[8]提出了一种Crank-Nicolson 有限差分格式,并对所得的非线性方程组应用Newton 法进行求解.之后为了避免Crank-Nicolson 格式所带来的非线性方程组,Ma 等[9]和阿布都热西提等[10]分别提出了不同的线性化Crank-Nicolson 格式,能大大地减少计算量和计算时间.Janwised[11]等提出一个三层线性的隐式差分格式.高启存等[12]针对非齐次Rosenau-Βurgers 方程建立了包括Crank-Nicolson 格式及其修正格式的三种数值算法并对三种格式进行数值比较.除此之外,文献[13-15]讨论广义Rosenau-Βurgers方程的数值方法.
考虑如下Rosenau-Βurgers方程的周期初值问题
其中:u0(x)是以L为周期的函数,且0 ＜T＜∞,为了求解上述初值问题,将求解空间限制在Ω=[0,L].
在Ω上定义如下实值函数的周期Sobolev空间[10]，即
其中:u(j)是第j阶偏导数；
k为正常数,当k=0时,是定义在L2(Ω)=H0(Ω)空间上的范数.
引理1[14]设则问题(2～4)的解满足如下质量守恒性和能量耗散性
针对Rosenau-Βurgers方程的周期初值问题(2～4),首先构造了一种三层线性隐式有限差分格式,并证明该格式的质量守恒和能量耗散性;然后证明了该格式数值解的存在唯一性及有界性.此外,证明了该格式数值解的收敛性,并得到其精度达到Ο(τ2+h4);最后通过一些数值算例验证理论的可靠性.
对求解区间[0,L]×[0,T]进行网格分割,记空间步长h=L/J,时间步长τ=T/N,其中J和N为正整数,网格点空间节点为xj=jh,j=0,1,…,J,时间节点为tn=nτ,n=0,1,…,N,则网格节点.此外,记,并对任意的网格函数U,,定义如下符号
对问题(2～4)建立差分格式为
其中
其中:A和B均为非负数,则Gn≤AeBnk,n=0,1,2,….
本节将证明差分格式(7～9)的质量守恒和能量耗散性质,由如下定理给出.
定理1差分格式(7～9)满足如下质量守恒和能量耗散性质,即
证明将差分格式(7)两端同时乘h后对j从1到J求和得
由引理2可得
由Qn的定义,将式(15)对n递推得到式(11).
即
由En的定义,将式(17)对n进行递推得到式(12).
本节将证明差分格式(7～9)解的唯一性和有界性,分别由定理2和定理3给出.
定理2差分格式(7～9)的解Un是唯一存在的.
证明 U0由初始条件式(8)确定,用两层格式(10)计算U1,则U0和U1是唯一确定的.由数学归纳法,假设U0,U1,…,Un是唯一可解的,考虑式(7)中关于Un+1的齐次线性方程组
将式(18)与Un+1做内积,利用引理2-4有
本节将证明差分格式(7～9)的数值解Un收敛到Rosenau-Βurgers方程初值问题(2～4)的精确解.
本节考虑如下非齐次Rosenau-Βurgers方程周期性边界的初值问题
其中
该初值问题的精确解为u(x,t)=exp(-t)sin(2πx).
其中||en(τ,h)||∞是时间步长为τ,空间步长为h的误差.
取空间步长和时间步长分别为h=0.05,τ=0.002 5,图1画出时刻为t=0.1,t=0.5,t=1.0的数值解(左)和数值解的三维图像(右).表1分别计算差分格式在不同时刻的离散质量数值和能量数值,验证了质量守恒性和能量耗散性.表2固定h=0.01,计算不同时间步长的误差和时间收敛阶,说明差分格式在时间上二阶精度.表3固定τ=h2,计算不同时空步长的误差和空间收敛阶,表明差分格式在空间上是四阶精度.
表1 不同时刻的离散质量数值和离散能量数值Tab.1 Discrete mass values and energy values at various times.
表2 h=0.01的误差和时间收敛阶Tab.2 Errors and temporal convergence orders when h=0.01.
表3 τ=h2的误差和空间收敛阶Tab.3 Errors and spatial convergence orders when τ=h2.
图1 不同时刻的数值解(左)和数值解的三维图像(右)Fig.1 Numerical solutions at various times(left)and the three dimensional image of numerical solutions(right).
由以上数值结果,验证了提出的差分格式(7～9)是有效的.
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