李文杰， 叶 锴， 夏 燚， 牟春梅,2
(1. 桂林理工大学土木与建筑工程学院，广西 桂林 541004; 2. 广西岩土力学与工程重点实验室，广西 桂林 541004)
传统土工三轴试验可以获得土体应力应变关系、抗剪强度、弹性模量等重要土力学指标，通过加载杆位移、土体排水量、换算关系得到土体的变形[1]。因试验仪器本身的限制，传统三轴试验存在许多局限性[2-3]：1）加载杆与土样接触的间隙、土样自身变形使得测量结果与实际出现偏差；
2）三轴试验中通过排水量换算得出试样体积变化仅能用于饱和土，且测出的是总体积变化，土体的实际变形是不均匀的，难以对土样局部变形进行测量；
3）由于土样两端与加载杆，透水石直接接触，土体的径向变形受到外部约束干扰，经过体变、轴变以及径变的关系得出的平均径变并不能反映土样的真实径向变形；
4）试样饱和时间较长且难以达到完全饱和。
为了测量三轴试样的真实变形，众多学者在接触式与非接触式测量方面做了大量研究。接触式测量主要是将LVDT（linear variable differential transformer）位移传感器[4]、霍尔传感器[5]等直接布置在土样表面，或与三轴仪结合改造，从而进行测量。使用传感器虽能直接测量土样某一局部部位变形，但会因其接触对土样造成扰动，影响其真实性。相比之下，非接触式测量则有着不与土样接触从而避免扰动的优势。Macari 等[6]将数字图像分析技术（DIA）运用于三轴试验中，将相机拍摄的土样加载图片与计算机软件识别分析相结合，识别土样边缘来计算试样体变。但此方法仍然局限于土样变形均匀，压力室不会发生弹塑性变形等假设条件。Alshibli等[7]应用多台相机对土样变形过程进行拍摄，结合CT扫描分析结果，得到了土样的三维图像，以此来研究土样的局部变形。此方法虽能有效观察到土体的局部变形过程，但CT设备较为昂贵且操作复杂，较难广泛运用于常规土工试验。国内邵龙潭团队[2,8]结合数字图像测量技术，将三轴圆形压力室玻璃改造成前部平板状，利用内部光镜反射实现了对三轴试样局部与整体变形的测量。但该方法设备成本昂贵，对三轴试验仪改动较大，不便于推广。
基于此，本文将摄影测量、数字图像处理技术和计算机技术相结合[9]，对常规三轴试验仪进行微小改进，在荷载架上、压力室表面以及土样表面张贴人工标记点。运用单镜头相机对土样进行环绕拍摄，将所得照片传入PMS(PhotoModeler Scanner)软件进行处理，修正折射效应带来的误差，重构试样的真实三维模型，从而得到土样不同区域的轴向和径向变形。该方法能直接对试样整体以及受端部约束影响的区域进行变形测量，并避免了将透水石、刚性试样帽、滤纸等与试样端部直接接触产生的间隙算入测量范围内，从而更为真实地反映土体的实际变形特征。
1.1 摄影测量原理
摄影测量是基于数字图像测量技术[10]的变形测量技术，拥有能不与被测物体直接接触的特点。通过数码相机从不同的角度对黏贴人工标记点的被测物体进行环绕式拍照，借助计算机技术提取被摄物体表面的人工标记点在不同图像中的三维坐标，利用光线追踪原理消除折射对土样测量值的影响，还原标记点的真实坐标及被摄物体的变形过程。
1.2 三维重构原理
三维重构原理是指基于视差原理，通过摄像机获得被测物体的数字图像，借助计算机处理技术对图像进行分析处理，建立实际世界坐标系与重构图像坐标系，并得出被摄物体与重构图像之间坐标的转换关系，其重构模型如图1所示。
图1 世界坐标系及重构后的土样
三维重构原理中相机所摄图像与现实世界的坐标转换如公式（1）与式（2）所示。在提取被测物体表面特征点的深度信息和三维空间坐标后，运用计算机视觉技术重构物体的三维立体模型。
式中：R——旋转矩阵；
XS，YS，ZS——相机的透视中心的坐标；
k、ω、φ——世界坐标系统中的X，Y和Z轴（代表拍摄方向）的三个旋转角度；
XI，YI，ZI——图像点在世界坐标系的坐标。
1.3 相机成像模型
相机成像模型是有关二维像点与三维空间点之间映射关系的空间几何模型[11]。在摄影测量中多采用针孔成像模型，根据像点、相机光心与实际空间点三点共线的关系实现图像与实际物体之间的坐标转换，其原理如图2所示。
图2 针孔成像模型
针孔成像模型虽能确定被摄点的线性方位，但还无法确定其空间位置。为了确定像点在三维空间中的真实位置，根据双目立体视觉原理[12]，如图3所示，拍摄多张被摄物体不同角度的图像，根据最小二乘法原理确定成像点在三维空间中真实位置。
图3 双目立体成像原理
图中A、B为两个不同的相机点，L1与L2分别为它们透过图像平面的点，N点为修正前的交汇点，S点为通过最小二乘法得到的确切位置。
相机的镜头由于装配的差异与长期的使用，会产生不同程度的弯曲，导致镜头畸变[13]。使得像点、投影中心点与实际空间点之间不共线，所采集的图像产生枕状变形、桶状变形，如图4所示。
图4 图像变形
为了消除镜头畸变的影响，本文采用直接线性变换法（direct linear transformation, DLT）对相机进行校正，其数学模型公式如下：
式中：X,Y,Z——世界坐标值；
(x,y),(x0,y0)——像点坐标和主点坐标；
L1～L11——直接线性变换参数。
相机畸变模型一般只考虑径向畸变K1，K2和切向畸变P1，P2的影响因素，其数学模型公式为：
结合（3）和（4）两个公式建立相应的方程，即可得出相应的畸变系数，对畸变进行校正。所采用的数学模型如式（5）所示。
式中：x，y——原始像片的位置坐标；
xc，yc——修正后像片的位置坐标。
当相机的所有未知参数求出，只需知道相应标记点两张以上照片的像素坐标值，即可应用公式（3）对标记点的三维坐标值进行计算。
PMS软件中自带“Idealize Project”相机校验模块，包括了140个无编码标记点与4个编码标记点。此模块处理方法采用的是上述的数学模型公式，将其导出如图5所示。将校验模块平整的黏贴在一光滑平面上，保持相机与模板呈45°左右从不同方向拍照12张，将照片传入 PMS软件中的“camera calibration project”模块中处理进行校检，即可对相机畸变进行校正处理，如图6所示，其畸变校正结果如表1所示。
表1 单镜头相机畸变校正
图5 相机校正模板
图6 相机校验界面
三轴压力室壁和密闭介质会对光线产生折射，且压力室壁在长期使用中会发生塑性变形，影响土样真实变形信息的获取。为了消除压力室壁和密闭介质的折射效应，利用光线的可逆性，根据图像上的一点反向追踪到三轴土样上对应的点，建立压力室变形数学模型确定压力室的形状。以三轴仪两侧上黏贴的标志点为参照建立世界坐标系（O-XYZ），假定压力室壁厚度恒定。测量加载杆上两点作为世界坐标系的比例尺，从而确定压力室表面和试样上标记点的三维坐标变化。在压力室中心设置局部坐标系R-XcYcZc如图7所示。
图7 压力室变形前后模型
图中A，B，C为压力室变形的参数，（Xc,Yc,Zc）为压力室的点在R-XcYcZc中的坐标。为了确定加压过程中压力室的具体中心，需将压力室坐标转换为世界坐标，压力室在世界坐标中的数学表达如下式所示。
式中：XR、YR、ZR——压力室中心在世界坐标系的坐标，即局部坐标系原点R在世界坐标系中的坐标；
ω′、φ′、κ′——从世界坐标系X、Y、Z到局部坐标系X′、Y′、Z′的旋转角。
使用最小二乘法得出（A、B、C、XR、YR、ZR、ω′、φ′、κ′）的最优解，确定压力室的形状和方位。在确定折射面后，采用光线追踪Snell定律[14]确定光线入射的具体方位，再利用最小二乘法根据同一标记点的至少三条折射光线确定物体表面相同点的实际三维坐标。
4.1 试样制备
本次试验以桂林红黏土作为研究对象，其基本物理力学指标如表2所示。参照GB/T 50123—2019《土工试验方法标准》制备干密度为1.50 g/cm3的三轴试样，进行围压100 kPa、300 kPa、400 kPa的不固结不排水试验。
表2 桂林市区红黏土基本性质指标
4.2 三轴压力室的布置
在试验开始前需对常规三轴仪作一些改动：1）在包裹土样的橡皮膜表面上以10 mm的间隔黏贴8行×18列共144个标记点。2）在两侧荷载架上各贴一列垂直且处于相同高度的编码点，任选两点用游标卡尺测得实际间距。3）在压力室表面黏贴120个标记点，上下各两圈和4个垂直列，用于构造压力室表面参数模型，整个系统如图1所示。
4.3 精度验证
经唐怡怀[15]等的研究，摄影测量在空气中具有较高的测量精度，且经折射修正后的三轴模型在注水未加载的压力室中测量结果也与空气中的测量结果相近，满足测量要求。为了进一步验证试样在压力室中加载变形的测量精度，本试验将试样在压力室中加载至明显变形（轴向应变达15%）后的轴向、径向测量值与排水拆除压力室后在空气中的轴向、径向测量值进行对比。
为方便数据处理，将高度为80 mm的土样分为截面编号1～8的8个截面，上、中，下三区域，如图8所示。
图8 土样分区示意图
将制备好并贴好标记点的饱和红黏土三轴试样装在三轴基座上，对压力室注水，在0围压条件下对试样加载至出现明显变形。由于试样在卸载后轴向与径向上会产生一定的回弹，因此等待卸载静置回弹结束对压力室中试样采集一组图片；
再排水拆除压力室，对空气中的土样再次采集一组图片进行测量，测量结果如表3和表4所示。
表3 轴向测量值
表4 径向测量值
以摄影测量法在空气中测得的土体数据为真值，对比表3和表4可知，各土段的轴向测量值最大误差为0.145 mm，整体最小误差在0.104 mm；
径向截面测量最大误差为0.211 mm，最小误差在0.138 mm。试样在压力室中受压变形后的测量值与空气中的测量值极为接近，说明试样在加载变形阶段经折射修正后的测量精度满足要求。
4.4 运用摄影重构技术的三轴试验
试验步骤：1）对在空气中的三轴基座上的土样拍摄一组照片作为初始数据。2）将压力室注水，以轴向位移每分钟增加0.2 mm的剪切速率进行间歇式加载，当轴向位移达到 0 mm、2 mm、4 mm、6 mm、···、12 mm 时分别拍摄一组照片，每次拍摄30张左右并保证土样上每个标记点在照片上出现3次以上，整个过程保证光源充足。3）将以上拍摄好的照片分组保存并导入PMS软件中进行数据提取，再在Matlab中建立的修正模型进行修正，得到真实三维坐标。4）每个试样重复上述操作。土样图像环绕采集方式如图9所示。
图9 土样图像环绕采集方式
5.1 土样三维重构模型
在获取试样的三维坐标后即可对其各变形阶段进行三维重构，取300 kPa围压试样的部分变形过程图与所有试样加载完成图如图10和图11所示。
图10 三轴试样各阶段三维重构示意图
图11 三轴试样最终加载图
5.2 轴向应变分析
从土样上部区域截面1到3，中部截面3到6，下部截面6到8作为土样上中下区域轴向高度计量点，测量其不同加载阶段的轴向高度变化确定土样上中下区域的轴向变化，同理由截面1到8确定土样整体轴向变化。所得土样加载完成各区域的轴向应变如图12所示。
由图12可知：1）相比于常规三轴试验在加载过程中的轴向应变呈稳定线性增长趋势，摄影重构法所得土样整体与各区域应变曲线增长出现波动性；
同时，土样中部与上部轴向应变分别表现为最高与最低的两条曲线，说明三轴试样在压缩过程中上部受端部约束影响较大，变形量小，中部受端部约束小，变形量大。2）与300 kPa、400 kPa下试样中部测定值稳定偏高和上下部测定值稳定偏低的趋势不同，100 kPa下试样上部轴向应变很小，下部轴向应变偏大。这是由于制样时压制不够密致，压缩过程中土样的粗颗粒向下部滑移较多，导致中下部压缩量较大；
而300 kPa、400 kPa下土样的上中下区域轴向应变则表现出了“中间大，两端小”的对称形式。摄影重构法所测轴向应变与图11土样实际变形相符。3）摄影重构法对土样整体轴向应变测量值小于常规测量结果，整个加载阶段平均偏小了20.16%。由于常规三轴试验中把试样端部接触的间隙压缩量考虑在了轴向位移中，导致所测轴向应变结果比实际情况偏大。而摄影测量所测结果规避了常规三轴试验中端部区域压密产生的误差，能对土样不同区域轴向变形进行实测，测得的土体整体轴向应变更符合真实情况。
图12 土样轴向应变对比
5.3 径向应变分析
在传统的三轴试验中通常假设土样径向变形均匀，计算径向应变时将轴向力作用面积进行了修正，使得结果与实际径向应变出现偏差，如下式所示。为了获得土样各部位的径向变形，运用Matlab将土样1至8截面标记点坐标进行圆面拟合，通过圆截面半径变化获得径向应变数据，结果如图13所示。
图13 土样径向应变对比
式中：Aa——土样轴向力作用面积；
ε1——轴向应变，%；
A0——土样的初始断面积；
Δh——试样剪切时高度变化，mm；
h0——初始试验高度，mm。
由图13可知：1）三个围压下的径向测量结果与图10试样实际变形情况相符：在整个加载过程中，100 kPa下试样5、6、7截面的径向应变表现为最高的三条曲线，此时试样径向变形集中在中下部区域，其原因已在轴向应变分析中说明。结合图11可知，300 kPa、400 kPa下试样的 4、5、6截面径向应变最高，呈现出较为对称的中部截面曲线高，两端截面曲线低的特征，此时土样径向应变主要发生在土样中部区域。2）轴向位移初始阶段土样径向应变增长趋势大致相同，之后出现差异化发展：随着轴向位移增加，不同围压下试样中部的径向应变曲线上升趋势较为稳定，靠近上下端部截面的径向应变出现“下降-上升”交替的波动趋势，说明土样上下端部区域在受压膨胀后出现收缩，受仪器端部约束作用明显，三轴试样变形不均匀性进一步体现。
将试样加载全过程的整体与中部区域径向应变与常规试验得到的结果进行对比，如图14所示。
图14 土样加载全过程径向应变箱型图
由图14知：1)试样在三个围压下的径向应变表现为“中部-整体-常规”由高到低的阶梯型排列，摄影重构法所得土样整体径向应变略大于常规测量所得结果，经计算整个加载过程摄影测量所得径向应变比常规测量增大了7.03%。2)结合图11知，受端部约束的影响，试样加载完成阶段试样两端径向变形小，中部区域向外鼓出明显，中部区域的径向应变远大于上下端部区域与整体的径向应变，由常规测量法所得的整体径向应变难以代表试样此时中部区域的真实径向变形。经计算，三个围压下试样加载完成阶段的摄影重构法所得中部区域径向应变平均为常规测量法所得整体径向应变的1.81倍，差距较为明显，摄影重构法对试样局部径向变形测量的适用性得以体现。
综上所述，常规三轴试验所测径向应变比实际偏小，且不能代表试样局部的变形特征。
5.4 应力-应变曲线分析
应力-应变关系一直是土样的强度分析和建立土体本构模型的重要参考依据。摄影重构法得到了经折射修正后每个加载阶段的土样半径，由此确定土样的轴向力作用面积，进一步确定偏应力。由摄影重构法与常规试验得到的应力-应变曲线如图15所示。
图15 应力-应变曲线对比
由图15可知，三个围压下试验开始初期常规试验与摄影重构法得到的应力-应变曲线呈线性增加趋势且大体一致，此时试样内部受力均匀，变形量较小，两种方法所测轴向力作用面积无明显差异。随着加载的进行，三个围压下摄影重构法所得偏应力小于常规试验所得，但发展趋势大致相同，经计算摄影重构法得到的偏应力较常规试验所得减小了6.94%。
在常规三轴试验中，通常假设轴向力作用径向面积均匀来计算偏应力。而随着试验的进行，试样内部结构发生不均匀的破坏，又受到端部约束的影响，导致中部的变形量大于两端，使实际轴向力作用面积与假设出现偏差。而摄影重构法避开了这一假设条件，得到的径向面积更接近真实试样变形情况，对传统三轴试验的偏应力测量进行了优化。
1）基于摄影测量与计算机重构技术，提出了一种操作方便，经济高效的无接触三轴土样变形测量方法。整个过程无需对三轴仪设备与实验室环境进行较大改造，不需要专业测量相机，使用市面经济易得的单镜头相机即可满足测量要求。且经过相机镜头畸变校正与光线追踪折射修正使测量精度满足试验需求。
2）通过摄影重构技术对土样的不同区域轴向、径向变形进行了测量，避免了对土样变形过程造成扰动，建立了直观的三维重构模型，得到了常规三轴试验无法得到的局部变形数据。
3）对三轴试样整体与局部进行变形测量，发现摄影重构法所测得的试样变形情况与常规三轴试验结果有所差异：由摄影重构法得到的试样整体轴向应变偏小，径向应变偏大，偏应力偏小。由于仪器的限制与诸多假设条件，常规三轴试验所测结果难以真实的代表土样整体与局部的变形，而摄影重构法对土样变形进行直接测量，结果更符合实际。
4）摄影重构技术能突破试样必须完全饱和这一限制，可推广至非饱和土与其它特殊土的变形测量。
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