本文研究三次函数y=ax3+bx2+cx+d（a>0）图像C1内接正方形个数. 首先把问题进行如下的简化，将C1按向量b[]3a，bc[]3a-2b3[]27a2-d平移，则平移后所得图像C2对应的解析式为y=ax3+c-b2[]3ax，再记c-b2[]3a=m，则y=ax3+mx.
若m≥0，则函数y=ax3+mx在（-∞，+∞）上为增函数，因此曲线C2不存在内接正方形.故以下的讨论中假定m0），则BD方程为y=-1[]kx，由y=kx，
y=ax3+mx得ax3=（k-m）x，x=0，或x=±k-m[]a，
所以AC=1+k2·2k-m[]a.同理BD=1+-1[]k2·2-1[]k-m[]a，
由AC=BD得
1+k2·2k-m[]a=1+-1[]k2·2-1[]k-m[]a.（1）
由于AC随k的增大而增大，故不同的k值对应不同的内接正方形，因此方程（1）的解的个数等于内接正方形的个数.将（1）平方化简得k-m=1[]k2-1[]k-m，
k2-mk=1[]k-1[]k-m=-1[]k2-m1[]k，
k2+1[]k2-mk-1[]k=0，
k-1[]k2-mk-1[]k+2=0.（2）
令t=k-1[]k，则方程化为
t2-mt+2=0.（3）
因为t=k-1[]k（k>0）值域为R且t与k是一一对应的，所以方程（2）与方程（3）解的个数是相等的.
①m0，方程（3）有两解，三次函数y=ax3+mx（a>0）图像恰好存在两个内接正方形；
②m=-22时，则Δ>0，方程（3）有一解，三次函数y=ax3+mx（a>0）图像恰好存在一个内接正方形；
③-220）图像不存在内接正方形.