摘要：本文首先将北京市1997-2010年的CPI涨跌幅度划分为四种状态，分别是衰退、增长、通胀和严重通胀，然后使用马尔柯夫分析法建立一个预测北京市“十二五”期间发展状况的分析模型，并利用此模型对北京市CPI涨跌的变化情况进行了分析和预测。
关键词：北京市 CPI CPI涨跌幅度 马尔柯夫分析法
一、引言
消费者物价指数（CPI）是世界各国普遍编制的一种指数，指的是衡量所选定的一篮子商品购买价格的指数，它是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，也是观察通货膨胀的重要指标，我国称之为居民消费价格指数。CPI可用于分析市场价格的基本动态，也是政府制定物价政策和工资政策的重要依据，若CPI升幅过大，表明通货膨胀已经成为经济不稳定因素，央行就会有紧缩货币政策和财政政策的风险，从而造成经济前景不明朗，因此，CPI过高的升幅往往不被市场欢迎。
2007年以来，我国物价开始猛涨，一步步增加的生活成本已经深深地影响了居民的幸福水平。近几年来欧美国家GDP增长一直在2%左右波动，CPI也同样在0%～3%的范围内变化，而中国的情况则完全不同。一般情况下，除非经济生活中有重大的突发事件（如1997年的亚洲金融危机），CPI是不可能大起大落的，所以2004年中国的CPI大幅波动有些异常。随着CPI大幅波动，国内经济一时间通货膨胀率过高，民众储蓄负利率严重，一时间居民储蓄又告别负收益，通货紧缩阴影重现。
CPI的波动引起居民紧张，但我国的经济状况总体上是稳定发展的，本文仅研究北京市近年来的CPI，并预测未来五年内的CPI状态，虽然不能完全概括全国的状况，但也极具有代表性。
二、马尔柯夫分析法
马尔柯夫利用状态之间转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势，也是一种时间序列分析法。它基于马尔柯夫链，根据事件目前的状况预测将来各个时刻（或时期）的变动状况。
（一）马尔柯夫链1
事件的发展，从一种状态转移到另一种状态，称为状态转移。在事件的发展过程中，若每次状态转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔柯夫过程。马尔柯夫链是参数t只取离散值的马尔柯夫过程。在事件发展变化的过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其他状态的可能性，称为状态转移概率。若事物有n种状态，则从一种状态开始相应就有n个状态转移概率，将事物n个状态的转移概率一次排开，可以得到一个n行n列的矩阵。
假设{X（t），tT}的状态空间是离散的，则{X（t），tT}就是一个马尔柯夫链，我们把所有可能的状态分别记为N1，N2...Nn，用Pij表示系统由状态Ni经过一次转移后到达状态Nj的概率，那么转移概率矩阵为
P11 P12 … P1n
P21 P22 … P2n
P= … … … …
Pn1 Pn2 … Pnn
如果已知初始状态S0和转移概率矩阵P，则经过n步转移之后的状态Sn可确定为：
Sn=S0Pn
马尔柯夫分析理论建立了转移概率矩阵模型的概念，认为系统的现实状态仅取决于系统的初始状态和状态的转移概率，它主要是应用随机状态事件的各状态的转移概率矩阵进行推算，只需要近期资料，不需要大量的历史数据，因此既可用于短期预测，也可用于长期趋势研究，避免了深奥的数学推导。
（二）基于马尔柯夫分析法的经济预测
马尔柯夫分析法考虑了各种不同形式的机制转换行为，属于机制转换模型的一个组成部分。马尔柯夫机制转换模型将这种机制的转换作为一个内生变量，认为机制转换是随机的， 而且在对模型进行估计时用一个统一的模型来拟合，不仅符合实际情况，而且有利于运用模型对未来进行预测。在马尔柯夫机制转换模型中，一种状态可以对应时间序列变化的一个均值和方差，根据模型设定状态的多少，可以认为时间序列遵循几个均值和方差变化。在对模型进行回归之前，要先确定状态的个数和滞后的阶数，然后进行回归，模型可以预测未来时刻时间序列所处各个状态的概率，据此可推定变量所处的具体状态。
CPI是衡量经济发展和人民生活水平的重要指标，根据马尔科夫链的定义和性质，考察特定年份的一组CPI数据，它是一个封闭的系统，其变化也是随机的过程，而且具备无后效性，因此本文认为马尔柯夫模型符合我国CPI的时间序列特点，可以利用它来对北京市CPI进行分析。
三、历史数据分析
（一）CPI状态划分
CPI指数的上升和下降分别代表一地区经济的衰退和高涨，若CPI升幅过大，表明该地区已出现通货膨胀。CPI的涨跌幅度与GDP密切相关，由于近年来我国GDP保持高速增长，CPI也呈现出大起大落的异常状态。一般来说，当CPI的增幅大于3%时，就意味着经济中存在通货膨胀；而当CPI的增幅大于5%时，就意味着经济中出现了严重的通货膨胀。据此可以将北京市各年度的CPI增幅划分为以下四种种状态2：
N1——衰退（CPI增幅5%）
（二）北京市CPI状态划分
由于从1991年到1996年，北京市CPI增长幅度均超过10%，这与过度时期的不稳定性有很大关系，因此参考价值不大，本文选取北京市1997～2010年十四年间的CPI涨跌幅度数据，如表1所示：
表1 北京市1997～2010年CPI涨跌幅度3
图1 北京市1997～2010年CPI涨跌幅度
十年间北京市CPI涨跌呈波动趋势，很不稳定，根据衰退（N1）、增长（N2）、通胀（N3）、严重通胀（N4）四种状态的划分，将北京市的十四年数据进行分类，如表2所示：
表2 北京市1997～2010年CPI涨跌幅度状态划分 （三）状态转移概率矩阵
根据上面的状态分类，可以分别计算出四个状态之间的转移概率，然后综合得到状态转移概率矩阵。
1. 计算状态转移概率
从表2中可以看到，2个由N1转移出去的状态，都是从N1转移到N2（即6→7和13→14），所以：
P11=P（N1→N1）=P（N1|N1）=0
P12=P（N1→N2）=P（N1|N2）=1
P13=P（N1→N3）=P（N1|N3）=0
P14=P（N1→N4）=P（N1|N4）=0
同样的，在7个由N2转移出去的状态中，有5个从N2转移到N2（即2→3，7→8，8→9，9→10和10→11），有1个从N2转移到N3（即3→4），有1个从N2转移到N4（即11→12），所以：
P21=P（N2→N1）=P（N2|N1）=0
P22=P（N2→N2）=P（N2|N2）=5/7=0.7142
P23=P（N2→N3）=P（N2|N3）=1/7=0.1429
P24=P（N2→N4）=P（N2|N4）=1/7=0.1429
在2个由N3转移出去的状态中，有1个从N3转移到N1（即5→6），有1个从N3转移到N3（即4→5），所以：
P31=P（N3→N1）=P（N3|N1）=1/2=0.5
P32=P（N3→N2）=P（N3|N2）=0
P33=P（N3→N3）=P（N3|N3）=1/2=0.5
P34=P（N3→N4）=P（N3|N4）=0
在2个由N4转移出去的状态中，有1个从N4转移到N1（即12→13），有1个从N4转移到N2（即1→2），所以：
P41=P（N4→N1）=P（N4|N1）=1/2=0.5
P42=P（N4→N2）=P（N4|N2）=1/2=0.5
P43=P（N4→N3）=P（N4|N3）=0
P44=P（N4→N4）=P（N4|N4）=0
2.总结得到状态转移概率矩阵
根据第一步的计算，得到北京市十四年间CPI涨跌幅度变化的状态转移概率矩阵为：
0 1 0 0
0 0.7142 0.1429 0.1429
P= 0.5 0 0.5 0
0.5 0.5 0 0
四、预测北京市未来五年CPI涨跌状态
（一）年度状态概率预测
在运用马尔柯夫分析法预测未来某一时刻状态的概率时，需要设定一个初始状态，并已知其状态概率和状态转移概率矩阵，然后代入前面提到的公式Sn=S0Pn，其中S0是初始状态概率，Sn就是需要预测的状态概率。
将2010年北京市的CPI状态设为初始状态，即S0=[0，1，0，0]，状态转移矩阵已在文章第三部分中得出，所以可分别预测未来五年北京市的CPI状态。
2011年：S1=S0P=[0，1，0，0] P=[0，0.7142，0.1429，0.1429]
2012年：S2=S0P2=S1P=[0.1429，0.5816，0.1735，0.1020]
2013年：S3=S0P3=S2P=[0.1378，0.6092，0.1699，0.0831]
2014年：S4=S0P4=S3P=[0.1266，0.6146，0.1721，0.0871]
2015年：S5=S0P5=S4P=[0.1297，0.6092，0.1739，0.0878]
总结如表3所示：
表3 北京市2011～2015年CPI状态概率预测值
（二）终极状态概率预测
经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率，假设终极状态的状态概率为S=[S1，S2，S3，S4]，那么
[S1，S2，S3，S4]= [S1，S2，S3，S4] P，即：
S1=0.5S3+0.5S4
S2=S1+0.7143S2+0.5S4
S3=0.1429S2+0.5S3
S4=0.1429S2
求解方程组，可以得到：S2>S3>S1>S4，也就是说未来长期内，北京市CPI增幅位于0～3%之间的概率最大，其次是3%～5%，未来北京市出现衰退和严重通货膨胀的可能性不大。
五、总结
从1997年到2010年，北京市CPI有几次比较大的波动，但多数年份的CPI增幅维持在0～3%，从表1和图1可以看出，不仅CPI指数持续增长，而且CPI增幅也呈现出增长趋势。按照CPI的四种状态划分，我们很容易看到，从1997年到2010年，有超过一半的CPI增幅维持在0～3%，有超过70%的CPI增幅维持在0～5%。
根据马尔柯夫分析法，“十二五”期间北京市的CPI将会继续增长，而且有较大的概率CPI增幅不会超过3%，也就是出现通货膨胀的可能性不大。通过终极状态概率预测得到，在未来较长一段时间内，北京市CPI增幅将维持在0～5%，基本上不会出现经济衰退和严重的通货膨胀。
参考文献：
[1]孙荣恒.随机过程及其应用[M].北京：清华大学出版社，2004：38～60.
[2]万晓西.CPI历史和国际标准概述.中国货币市场，2007.
[3]北京统计局.中国统计年鉴数据库（1997～2010）.
注释：
1孙荣恒.随机过程及其应用[M].北京：清华大学出版社，2004：38～60.
2 万晓西.CPI历史和国际标准概述.中国货币市场，2007.
3 北京统计局.中国统计年鉴数据库（1997～2010）.