数学学习的个案研究作为一种实验方法，具有可操作性强、实效性明显等优点，通常由过程描述、现象解释和反思评价等环节所组成。应用于实践研究中，能帮助教师及时了解各个不同层面学生对于数学学习的真实状况，从而针对性地改善课堂教学。以下就是笔者随机选取一名学生关于“三角形特征、平行四边形概念巩固的知识”开展的一项个案实验研究。
一、过程描述及现象分析
被测学生背景：就读四年级，已学习三角形和平行四边形的概念，三角形的三边关系等知识。
（一）问题出示
提供实验材料：2cm、3cm、4cm、5cm、9cm的小棒各4根。解决如下问题：
1.利用小棒摆一个三边不相等的三角形；2.利用小棒摆一个平行四边形。
（二）操作结果
生顺利地选出3根小棒摆成了一个三角形（解决了第一个问题）。但是在解决第二个问题（摆平行四边形）的时候遇到了困难。
（三）启发交流
【片段1】 对三角形三边关系知识的唤醒和重构。
师：三角形是如何摆出来的？生：要求三边不相等，所以选2cm、3cm、4cm小棒。
师：像这样的三角形你还可以摆吗？生：可以。
师：请你再摆出一些三角形。生操作：分别用3cm、4cm、5cm的小棒，2cm、4cm、5cm的小棒拼出三角形。
师：在摆这些三角形时是根据什么来摆的？生：三边不相等。
师：除了题目中的这个要求还用到了什么知识呢？生：（疑惑不解）……
师：2cm、3cm、5cm的小棒也不相等能摆成三角形吗？生：（略一停顿）不能摆。
师：为什么不能？生：因为2+3=5。
师：除了三边不相等以外还要根据什么来摆？生：还要根据三条边之间的关系来摆。
师：很好，你观察一下在这里9cm的小棒可以和其它小棒摆成三边不相等的三角形吗？说说你的理由。生：（观察后思考）不能。因为9cm的小棒比其余两根小棒的长度之和要大，要么是相等。
【现象分析】 利用所提供的材料摆出符合要求的三角形对被测学生没有难度，在问及“摆三角形时是根据什么来摆的”，学生只是单一地从题目要求的角度进行了回答未能触及问题的本质。由此分析该生能利用已有的知识并将其很好地体现在实际操作问题中，却无法用数学的语言表述出来。
在紧接着的交流中，针对性地提出用2cm、3cm、5cm能摆三角形吗？生答：不能，因为2+3=5。这一问答过程可以看做通过实例唤醒学生已学知识的体现。也即根据三角形的三边关系，两边之和应该大于第三边。测试者提出的第三个问题：“9cm的小棒可以和其它小棒摆成三边不相等的三角形吗？”则是对已学知识的深化理解和应用。
【片段2】 对平行四边形概念的多维发掘和渗透。
师：平行四边形是怎样的一个图形？生：（有疑惑的）对边相等。
师：那么可以按照什么标准来摆平行四边形呢？生：根据边来摆。
师：请你试一试看。生操作，选择了两根4cm，4cm，一根2cm，一根9cm。
经过一番操作，疑惑地自言自语：这样好像摆不出来。
师：我们要摆什么图形？
生：平行四边形。
师：平行四边形是怎样的一个图形？生：对边相等。
师：对边相等是什么意思？生：左右两边相等，上下两边也相等。
师：你能用手在桌子上描画一下平行四边形吗？
（生操作过程如下：根据对边相等，先画出上下一组对边，再画左右对边组成平行四边形。）
师：现在你会摆了吗？
（生操作，将第一次选择中9cm的小棒换成2cm顺利地拼出一个平行四边形）
【现象分析】 从过程分析，被测学生对平行四边形特征的内在理解是单一的，仅能用语言模糊地表述，在操作层面及头脑的表象中都不能正确反映出这一概念的本质属性。从开始选择小棒的情况就可以知道不能摆出平行四边形，测试者大胆地让学生去尝试，从实践中发现问题并反思问题的解决方式符合学生的认知规律。在后续交流中，进一步强化对概念的语言描述，采用描画的方式帮助学生在头脑中建立清晰的表象，最后反映在操作层面使问题得以解决。
本环节交流和探索的实质是对平行四边形概念的多维理解和内化。从整个过程来看，经历了“猜测——实践——反思——强化——理解”等探索知识的环节。
【片段3】 从概念的变式呈现强化理解本质属性。
师：如果把2cm小棒放在下面，4cm的小棒放在两边能拼成平行四边形吗？
生：不能。（立刻改正：可以的）
师：想一想，用上两根9cm的小棒可以拼出平行四边形吗？
生：（短暂思考）可以的。
师：说说看，平行四边形是怎样一个图形，选择怎样的小棒就可以摆出来。
生：对边相等，只需两组相等的小棒就能摆了。
师：很好。试一试，再摆几个平行四边形。
（生操作，先选择了9cm和2cm的小棒各两根摆出了一个平行四边形，接着快速地摆出了多个。）
【现象分析】 第一个问题蕴含着丰富的现实意义，通过几何图形位置的变化揭示本质属性不变的规律。心理学研究表明：变式的呈现对于学生理解本质概念具有促进作用。从被测学生反应来看，一开始得出“不能”的结论可以说明其思维认识上还是受到了一定的干扰，但能通过思考立即将之排除。第二个问题的设计则有效的避免了知识负迁移的影响，因为在第一个问题的解决中9cm的小棒不能与其它小棒拼成三角形。
在学生经过一系列有效地思维和实践活动之后，适时的归纳和小结能够更好地促进知识的落实程度。后续操作中，学生可以顺利地摆出多个平行四边形，经历了从起初遇到的困难，实践发现的错误，知识探究的过程到最后问题得以顺利解决，实验的阶段性目标达成。
二、实验反思及策略探索
（一）以不同维度之间的沟通切入，达成数学概念的完整建构
数学具有抽象性，具体环境、情境中对数学概念会有不同的表述，换句话说，概念存在的外部性状多种多样。而科学概念是指定义明确的，有一定逻辑意义和体系属性的概念。实践中教师要做的工作，就是把具体的东西全部呈现，把概念的本质属性不断概括，不断总结，形成抽象性概念。这个过程一般通过操作、图像化、符号化表示这三个层面进行。
从上述个案实验来看，被测学生对平行四边形的初始理解只限于能模糊地用语言表示，尚未达到图像化表达层次，体现在操作上，第一次选择的小棒显然不能摆出平行四边形。在教师的引导下，经历了强化对语言表述的理解——“师：对边相等是什么意思？生：左右两边相等，上下两边也相等”；再到经历图像化的表示——“师：你能用手在桌子上描画一下平行四边形吗？（学生描画）”；最后重新反应在实际操作中——“将第一次选择中9cm的小棒换成2cm顺利地拼出一个平行四边形”。通过这一过程实现了各个认知层面间的沟通和连接，逐步达成对平行四边形这一概念的整体建构。
（二）从朴素的、生活化的了解逐步走向精确的、科学性的理解
认知心理学认为：学习就是学习者对原有认知结构的重新组织。因而，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。在教学实践中，教师要始终坚信学生内在的理解并不是白纸一张，他们在日常的生活实践中已形成了一定的“数学概念”，对现实中的空间形式有着自己的看法和理解，这些概念通常具有合理的成分，但不精确，有些甚至是错误的。
在这样一种观念指导下的教学，就需要教师考虑如何去激发、引导、概括、提升，从而使学生已有的朴素、生活化的概念逐步走向精确的、科学性的理解和掌握。上述个案试验中片段2和3对于平行四边形概念的巩固和本质属性的理解正体现了这样的一个过程。以片段3中两个问题为例，可以看出学生对于概念本质属性的理解并不是一蹴而就的，变式的呈现则是使学生已有概念趋向精确化、科学性的重要环节，同时，也要注意排除负迁移的不良影响。
（三）概念学习既是知识获得的过程，更是个体内化发展的过程
从教学的角度来说，学生的概念学习本质上看就是概念获得的过程，它要在教师的指导下进行。根据数学概念的特性，教学实践中必须体现出完整的学生主动内化、构建的过程，过程如果缺少，要使学生建立一个科学概念的难度很大。本文案例中测试者正是始终贯彻这样的理念，使学生积极、主动地尝试探究、发现概念。
毫无疑问，数学概念是学生进行数学思维的核心，曾有人将之比作构建数学理论大厦的基石。对于一线教师来说，关于数学概念教学的探索也必将是经久不衰的热点话题，本文仅从一个实验个案出发浅述了关于数学概念教学的一些看法，不当之处敬请指正。