摘要:广义积分中值定理是数学分析中的一个重要定理,对微分中值定理、曲线和曲面积分中值定理等的认识有很大帮助.本文根据广义积分中的广义积分和积分中值定理的定义和相关性质,扩展到广义积分中值定理中,重点在单调区间上的广义积分中值定理、带有参数的广义积分中值定理、广义Riemann积分中的推广这三方面进行探讨.
关键词:广义积分;积分中值定理;广义积分中值定理
中图分类号:G712 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2012)12-0164-03
1 广义积分
1.1 第一类广义积分
设函数f(x)在区间[a,b]上可积,则称■f(x)dx为第一类广义积分[1],且当■■f(x)dx存在时,称该广义积分收敛,反之称之为发散。
同理,有■f(x)dx属于第一类广义积分形式,而■f(x)dx由双向极限(a→-∞,且b→+∞)确定其收敛性,属第一类双边广义积分。
1.2 第二类广义积分
设f(x)在x=a右侧领域内无界(x=a称为f(x)的一个奇点),?坌X∈(a,b],f(x)在[X,b]上可积,则称■f(x)dx为第二类广义积分[1],且当■■f(x)dx存在时称■f(x)dx收敛,反之极限不存在时,称广义积分■f(x)dx发散。
被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a称为f的瑕点,而无界函数反常积分■f(x)dx又称为瑕积分。
类似上述描述可有积分上限为奇点的第二类广义积分,甚至可有[a,b]内有奇点x=c的广义积分■f(x)dx称为第二类广义积分。
2 积分中值定理
2.1 积分中值定理及其几何意义
积分中值定理[1]:若f在[a,b]上连续,则至少存在一点ζ∈[a,b],使得■f(x)dx=f(ξ)(b-a).积分中值定理的几何意义:若f在[a,b]上非负连续,则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高,[a,b]为底的矩形面积。■■f(x)dx理解为f(x)在区间[a,b]上所有函数的平均值。
2.2 积分中值定理的推广
推广[2]函数f(x)在[a,b]可积,m,n∈R,且m≤1≤n,则存在ξ,η∈[a,b],使:
■f(x)dx=m■f(x)dx+n■f(x)dx (2.2.1)
■f(x)dx=n■f(x)dx+m■f(x)dx (2.2.2)
3 广义积分中值定理
3.1 广义积分中值定理
广义积分中值定理[3]:设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)在[a,b]上不变号,则至少存在一点ξ∈[a,b],使■f(x)g(x)dx=f(ξ)■g(x)dx.当g(x)≡1时,即为积分中值定理.
引理[4]设函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则必存在ξ∈[a,b],使■f(x)g(x)dx=f(ξ)■g(x)dx.
(或存在00(ε0,存在N,当n>N时,
有0≤■(1-x2)ndx0必存在一有限点ξ∈[a,+∞)满足■f(x)g(x)dx-f(ξ)■g(x)dx0,必存在一点ξ∈(0,c]使■f(x)g(x)dx-f(ξ)■g(x)dx<ε.
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].高等教育出版社,2001.
[2]刘宁.强化积分中值定理结论,使其更具应用性[J].金华职业技术学院学报,2004,6(2):50-52.
[3]闫彦综.关于积分中值定理的推广[J].牡丹江大学学报,2003,2(2):68-69.