【摘 要】数学定义在数学学科中是极为重要的，是深入理解数学理论第一步，是进一步掌握数学概念内涵（相关性质、定理等）和外延（概念分类等）的基础。本文从什么是数学定义，数学定义的常见方式及一般教学思路，数学定义的一般教学手段，教师如何对定义备课这三个方面入手，目的是为教师教学和学生学习提供一些建议。
【关 键 词】数学定义；课堂教学；定义备课
一、什么是数学定义
首先，说明什么是数学概念：它是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。在数学中反映数和形本质属性的数字、图形、符号、名词术语和定义、法则等都是数学概念。
数学概念通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。以概念“圆”为例，词“圆”是概念的名称；“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”是概念的定义；符合定义特征的具体图形都是“圆”的例子，称为正例，否则叫反例；“圆”的属性有：是平面图形、封闭的、存在一个圆心、圆心到圆上各点的距离为定长（半径），等等。
从上面我们知道，数学定义是数学概念的一部分，它是通过列出一个事物或者一个物件的基本属性来描写或者规范一个词或者一个概念的意义。它只是指出了事物的基本属性，但不包括全部属性。
二、数学定义的常见方式及一般教学思路
1. 约定式定义法。约定式定义都是对某一具体代数式加以定义，并且这些代数式具有明确的理论背景，而并不是强加的，所以我觉得要立足于已有知识的基础上，挖掘定义的背景以及定义本身的含义，使学生相信数学是自然的、科学的，定义也是正确的。
具体包括：讲解定义的推导过程，如零指数幂，组合数；讲解定义的应用意义：如，平均数代表和理解一组数据的一个代表值，方差表示一组数的方差表示了这一组数的分布范围的大小；定义名称由来：如“方差”、“自然对数”、“频数”。
2. 直觉定义法。对于原始定义都采用直觉定义法，中学数学中涉及到的原始定义有：元素、集合、对应、点、直线、平面、空间、数、量等。
由于学生在生活中对这些定义已经有了一些大概的认识，但还没能抽象成数学概念，所以我们只需在这基础上再多举实例（也可让学生举例），从多个角度进一步强化认识，最后将这些概念转化成模型刻在脑中。
我觉得对这些概念的认识不可能一步到位，要让学生在之后的学习中慢慢领会；这些概念看似容易理解，甚至没什么特别需要强调的，但教师反而要重视起来，有机会就加以渗透，因为这些概念是所有概念的基础。
3. 构造式定义法。构造式定义是因为定义本身可以从运动的角度去理解，比如圆锥曲线，圆的定义。我觉得这类定义的讲解要重视以下几方面：（1）演示过程，比如用绳子、铅笔等工具演示椭圆的形成过程；（2）讲清运动的过程，包括运动的元素、途径、限制条件分别是什么；运动过程分成哪些主要步骤；（3）让学生学会用比较精炼准确的语言描述过程；（4）从图形和语言中抽象出代数表达式，找出其本质的数学含义，以便在推理证明中应用；（5）最后将自己归纳的语言和书中定义做一个比较，分析哪些不同之处，进一步理解定义的本质。
4. “属+种差”定义法。这种定义是基于属概念得到的新概念，是属概念中的一部分，由种差确定，所以教学中：（1）要强调属概念的定义，做一个一个复习回顾，为新概念理解做好铺垫；（2）在属概念的基础上强调“种差”，即特殊性质，和其他同在一个属概念中的概念加以区分，如果种差有几条，不防用1、2、3等符号标注出来，以区别不同性质，加深理解和记忆。
5. 逆式定义法。逆式定义给出了数学概念的分类，在教学中我们要注意：（1）每一类的具体定义是什么，这是基础，要充分的讲解和举例；（2）分类的依据什么，让学生检验分类是否不重不漏；（3）类别名称要说全，不能有遗漏；（4）给出最终的定义，说明名称的由来。
6. 刻画性定义法。刻画性定义在中学阶段并不多，因为它们是基于近代数学诞生的相对严格的定义，较其他定义更为抽象，描述的语言符号也繁杂，如函数、函数极限、数列极限概念等。高中最为重要的一个概念就是函数，在经历了初中从“运动变化”的角度定义函数之后，高中从“集合对应”的角度定义，使其囊括更多的函数，也更加接近函数的数学本质。
7. 一般的哲学思想在讲解定义中应用。以上六点只是针对具体问题而言，孤立的处理了定义教学，定义之间的异同也要讲解清楚，我们知道比较、辨别、分类、归纳、猜想、抽象、概括、联想等是研究科学的普遍思维，在定义教学中也不容忽视。
（1）区别近似概念，突出关键属性，注意相关属性，分析定义的本质属性和非本质属性；（2）对定义加以变形，如颠倒条件和结论，去掉、增加、改变条件，进行定义的辨别；（3）了解定义背景，全面掌握相关只是，知道定义在整个体系中的位置，并注意与其它知识的联系；（4）分层理解定义，如将条件结论分层，或按照主谓宾分层；（5）从特殊入手，讲具体升华为抽象，得出一般性的定义；（6）设想定义的存在性和合理性；（7）对定义进行联想和类比；（8）正反举例比较。
其它定义法在中学比较少见，我们就不一一赘述了。上述七条可以互相补充。
三、数学定义的一般教学手段
上文介绍了定义教学的思路，具体实施时采取不同的手段和方法对教学效果也有很大影响。
1. 多媒体演示。利用现代化的教学手段，在教学时配上精美的PPT或动画演示，可以加深学生对定义内容的认识。
2. 图像法。有些定义可以通过图像加深理解，如二次函数、指数函数、对数函数、直线垂直于平面等的定义，在教学时不放发挥图像的作用，使其从形象的图像入手，加深理解。
3. 动手操作。有些定义可以通过动手操作理解，比如椭圆、双曲线、抛物线的定义，根据定义中的的步骤演示一遍，同样会加深记忆。
4. 让学生自己归纳定义。对于某些学生比较熟悉的数学定义，可以让学生自己概括，再与书本对照不同之处，修改后就会领会数学定义的本质。
四、教师如何对定义备课
1. 正确地理解概念。正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。而当前我国数学教学中的突出问题，恰好是把掌握数学基础，即数学概念的正确理解给忽视了。一方面是教材低估了学生的理解能力，为了“减负”，淡化甚至回避一些较难理解的基本概念；另一方面，“题海战术”式的应试策略，使教师没有充分的时间和精力去研究概念。
2. 要准确把握不同概念的区别和联系。数学知识的系统性很强，数学概念也不是孤立的，教师应从有关概念的逻辑联系和区别中，引导学生理解相关的数学概念，从而在学生头脑中形成一个比较完整准确的概念体系。利用这些内在联系，可把这些简单体的性质，有关计算公式都归纳为一体，便于学生理解和记忆。
3. 还要在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念。数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。
参考文献：
[1]郭勇，咸庆粉.如何进行中小学数学概念的教学.http：//www.eact.com.cn/studroom/show-id-2574，2007.4.
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[4]李汇渠.如何讲解数学概念.http：//blog.sina.com.cn/s/
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