圆锥曲线是高考的重点和热点，高考考题常考常新，命题者更是费尽心思，但出题之中有偶然也有必然.笔者在做2011年高考解析几何题时，受江苏高考第18题的启发，得出了一组优美的结论.�
图1
2011年江苏高考第18题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆
x�24+y�22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.�
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB.�
在第（3）问中我们得到这样的结论：对任意的k＞0，都有PA⊥PB.
笔者猜想是否对任意的椭圆都有PA⊥PB，于是想通过几何画板构造动态椭圆来研究这个猜想，但是在画的过程中遇到了一个问题：直线OP与椭圆的交点A和直线AC与椭圆的交点B选不了.对于直线OP与椭圆的交点A，是通过构造假点A来完成（将点P绕点O旋转180°），但是直线AC和椭圆的交点B怎么都解决不了.由此直线PB的斜率就无法度量，用几何画板研究的想法就此夭折.（几何画板中圆锥曲线和直线的交点是无法选中的，这个问题的解决希望同行不吝赐教）�
于是笔者想到圆是椭圆的近亲，转而去研究在圆里是否有PA⊥PB呢？�
于是这道题就改编为：在圆x�2+y�2=r�2(r＞0)中，过原点作直线交圆于P、A两点，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC交圆于点B，则是否有PA⊥PB？
对于此题，有几个学生很快就得出结论了，并且相当部分学生认为这个结论很完美，其过程如下：�
解:设解析式为y+b=k(x+a)，根据题意得�
5+b=k(3+a)，�2+b=k(2+a)， 解得k=3.�
∴y=3x+3a-b.�
面对这个结论，教师摆出一副对结论持怀疑的态势，不料学生似乎成竹在胸地陈述起来：待定系数有三个，根据题意只能列出两个三元方程，要求出a、b、k的值不可能，只能是这个结论.应该承认学生的话是有一定道理的，至少与以往的一般经验相吻合.显然学生的思维障碍主要是受解多元不定方程组的思维定势的消极影响，在解题过程中他们忽视了两点：①所得结论与求解析式的一般结果要求不符；②不能求出a、b的值不等于3a-b的值不可求.于是引导学生重新审视已得结果，变换思考的角度，回过来检查解题过程，不难得出3a-b的值，于是写出正确的解析式也就顺理成章了.�
四、善于数学建模�
事实上，数学建模的实质既是一个将实际问题转化为纯数学问题的过程，又是一个用数学的过程，从这个意义上讲，正是培养学生用数学方法解决实际问题的一个重要途径.
图3
例如，一所学校为了美化校园环境，要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1�25米，安装在柱子顶端A处的喷水头向外喷水，水池在各个方向沿形状相同的抛物线路程落下，且过OA的任一平面上抛物线路程（如图3），为使水流形状漂亮，设计成水流在到OA的距离为1米处达到距水面最大高度2.25米,如果不计其他因素:�
（1）水池半径至少要多少米，才能使喷出水流不致落在池外？�
（2）如果修水池每平方米造价为130元，问修这个水池至少要花多少钱？�
在引导学生分析时，要求学生找准重要句中的关键词“抛物线”，问题可归类到建立直角坐标系模型，一旦坐标系建立，则学生很快地悟出（1）和“求抛物线与x轴交点的横坐标”呈等价命题，若解决了（1），则（2）便不难解得.�
因此，教师在引导学生建模的过程中，应注意抓住问题的关键，既要注意转化，展示过程，又要注重归类，这样，学生的解题能力自然就得到提高.�
（责任编辑 金 铃）
图2
我借助于几何画板进行演示（如图2），发现PA⊥PB不成立（实际上AB⊥PB），但是有k��PA�・k��PB�=-2，将点P在圆上随意转动时，k��PA�・k��PB�=-2不改变，再将圆的半径不断改变时，仍然有k��PA�・k��PB�=-2，即k��PA�・k��PB�是一个定值-2.联想到2011年江苏高考第18题第（3）问实际上是证明k��PA�・k��PB�=-1.�
由此我觉得对任意的椭圆不一定有PA⊥PB，而是应该有k��PA�・k��PB�是定值.结合圆的方程
x�2r�2+y�2r�2=1（x�2+y�2=r�2）及k��PA�・k��PB�=-2和椭圆方程
x�24+y�22=1
及�k��PA�・�k��PB�=-1，猜想这个定值应该与椭圆方程
x�2a�2+y�2b�2=1（a＞b＞0）
中的a、b有关，可能是-2b�2a�2.�
于是着手去证明.注意到2011年江苏高考第18题的第（3）问其中一种解法是：�
设P(x�1,y�1),B(x�2,y�2),则x�1＞0,x�2＞0,x�1≠x�2,�A(-x�1,-y�1)�,C(x�1,0).设直线PB、AB、PA的斜率分别是k�1、k�2、k，因为C在直线AB上，所以k�2=0-(-y�1)x�1-(-x�1)=y�12x�1=k2.从而
k�1・k+1=2k�1k�2+1=2・y�2-y�1x�2-x�1・y�2-(-y�1)x�2-(-x�1)+1
=2y�2�2-2y�2�1x�2�2-x�2�1+1=
(x�2�2+2y�2�2)-(x�2�1+2y�2�1)x�2�2-x�2�1
=4-4x�2�2-x�2�1
=0.�
因此k�1k=-1,所以k��PA�・k��PB�=-1，所以PA⊥PB.�
把这个证法修改一下：�
设P(x�1,y�1),B(x�2,y�2),则
x�1＞0,x�2＞0,x�1≠x�2,�A(-x�1,-y�1)�,C(x�1,0).设直线PB、AB、PA的斜率分别是k�1,k�2、k，因为C在直线AB上，所以
k�2=0-(-y�1)x�1-(-x�1)=y�12x�1=k2.从而
k�1・k=2k�1k�2=2・�y�2-y�1x�2-x�1・y�2-(-y�1)x�2-(-x�1)�=2・
y�2-y�1x�2-x�1・y�2-(-y�1)x�2-(-x�1)=2・
y�2�2-y�2�1x�2�2-x�2�1.①�
由于B、P两点在椭圆
x�24+y�22=1上，所以有
y�2�1=�2(1-x�2�14)�，
y�2�2=2(1-x�2�24)
，带入①，
得k�1k=-1,所以�k��PA�・k��PB��=-1,PA⊥PB.�
注意到这个证法中
“x�1＞0,x�2＞0”这个条件在下面的证明其实没有作用.实际上只须x�1≠0（此时PA的斜率不存在）和x�1≠x�2（若x�1=x�2，则P、B、C三点重合于椭圆与x轴的交点），也就是说对于本题来讲，当直线绕着原点运动时(k＞0或k＜0)都有k��PA�・k��PB�=-1，实际上当点P在椭圆上随意运动（除去点P为椭圆与坐标轴的交点）时都应该有k��PA�・k��PB�=-1.�
于是我们把这道题进行推广：在椭圆
x�2a�2+y�2b�2=1（a＞b＞0）中，过原点作直线交椭圆于P、A两点（直线PA不与坐标轴重合），过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆于点B，证明：k��PA�・k��PB�=-2b�2a�2.�
证明如下：设P(x�1,y�1),B(x�2,y�2),则有
x�1≠0,x�1≠x�2,A(-x�1,-y�1),C(x�1,0).因为C在直线AB上，所以
k��AB�=
0-(-y�1)x�1-(-x�1)=y�12x�1=k��PA�2.从而�
k��PA�・k��PB�=2k��AB�k��PB�=2・
y�2-(-y�1)x�2-(-x�1)・y�2-y�1x�2-x�1=2・
y�2�2-y�2�1x�2�2-x�2�1，②�
由于B、P两点在椭圆
x�2a�2+y�2b�2=1上，所以有
y�2�1=�b�2(1-x�2�1a�2)�，
y�2�2=b�2(1-x�2�2a�2)，带入②，
得k��PA�・k��PB�=-2b�2a�2.�
如果令a�2=b�2=r�2，正好就证明了在圆
x�2r�2+y�2r�2=1（x�2+y�2=r�2）中的结论k��PA�・k��PB�=-2.�
此时我们可以把问题进行类比：已知椭圆y�2a�2+x�2b�2=1（a＞b＞0），过原点作直线交椭圆于P、A两点（直线PA不与坐标轴重合），过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆于点B，证明：
k��PA�・k��PB�=-2a�2b�2（证明过程同上）.�
由此进一步统一结论：已知曲线
x�2m�2+y�2n�2=1，过原点作直线交曲线于P、A两点（直线PA不与坐标轴重合），过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交曲线于点B，则有
k��PA�・k��PB�=-2n�2m�2.�
由上面的过程可以发现，江苏高考第18题实际上是将必然的结论特殊化，偶然中暗藏必然.如果我们能够对一些类似题目大胆地猜测、类比、归纳、证明，或许还能得到很多优美的结论.�
（责任编辑 金 铃）