知识是什么？智慧又是什么？抛开这两个难以清晰界定的概念，先来理解它们之间的逻辑关系：知识不等于智慧，但知识可以转化为智慧。以知启智，在数学教学中追踪知识的发生过程，不仅可以增进学生对数学知识、数学思想和数学方法的理解，而且还能启迪他们进行数学发明和创造的智慧，达到以智启智、促进智慧生长的目的。
在一定意义上，数学学习是学生在教学过程中重新发现和认识数学知识的过程。数学教学就是要教学生主动地建构自己的数学世界，建构起自己对数学知识的理解。当然，这里发现知识的过程与建构理解的路径都应当是经过教学设计的，因为许多数学知识的发生与发展过程极其缓慢，在教学中复制人类发现和认识的全过程既不可能也没必要。波利亚给出了折中的建议，即在教一个概念时，应当让孩子重蹈人类思维发展中的那些关键性步子。笔者认为，在关键性步子中应当包含关于方法的知识。下面以数概念的学习为例，讨论如何在展开知识发生的过程中促进学生智慧的生长，探讨在对数学知识进行“教学法加工”时如何融入“方法论重建”。
智慧体现在思考的过程中
数与数学如影随形，无论对数学学科还是数学学习来说，数概念都是最为重要的基石。只要对自然数的产生与扩展过程稍微有些了解，就不能不敬畏人类创造位值制的智慧。马克思称赞十进制记数法是“最妙的发明之一”。然而，由于现在人们对自然数太过熟悉了，并且在学习中自然而然地接受了十进制记数规则，已经很难体会到创造位值制是多么了不起的事，其数学思想与文化内涵被淹没在知识的海洋中，人类创造位值制的智慧被知识的结果吞噬了。
应该说，过去的教学也比较关注位值的概念，特别是对于满十进一的教学倾注了很多的力量。举例说，在教学10的认识时，不只是把10作为一个数来认识，而且也把10作为一个新的计数单位来介绍。一般的教学流程是，先让学生了解生活中用10表示的事物，如一捆铅笔是10支，10个珠子串成一串等，再通过计数器的直观演示，引导学生理解10个1是1个10，然后把10作为新的计数单位学习更大的数。不仅如此，在学习其他如“百”、“千”、“万”等计数单位时，仍然十分强调重演这个“满十进一”的过程。
需要注意的是，如果只是把满十进一作为结果来教学，而没有深层的思考，不去关注知识的发生过程，那么这样的教学只是知识的传授，还谈不上是智慧的发展。史宁中教授指出，认识10000时，如果说10个1000是10000（10x1000=10000），这是把知识作为结果来教学。作为过程的教育，应当强调四位数能表示的最大的数是9999，如果要表示出比9999大1的数，我们祖先用一个新计数单位“万”来表示（9999+1=10000）。两种教学得到的结论是一样的，但学生经历的思考过程则不完全相同，后者强调了为什么要引进一个新的单位，学生的学习经历了“再创造”的思考过程，而这个过程体现了人类创造位值制的智慧。此外，“+1”符合自然数公理系统（皮亚诺公理）中用后继数定义自然数的方法。这样看来，虽然是十进制记数法的重要原则，但这个结论应当从计数单位扩展的过程中归纳得到，而不宜直接把“满十进一”作为产生新计数单位的依据。
体会A类设计这一规则背后的大智慧
位值制包含了数字和规则两部分。如果我们的祖先只是发明了0～9这10个数字，大概也不值得我们今天为之歌功颂德。因为就这些数字本身来说，完全可以用其他的符号来代替。位值制更重要的价值内核是建立了一套简单而实用的规则，即把一个数字放在不同的位置上表示出不同的数值，也就是数位不同计数单位也不同。按照这个规则，仅用10个数字就可以表示出无穷无尽的自然数。教学中，教师需要充分挖掘“满十进一”的思想与文化内涵，才能真正体会人类设计这个规则背后的大智慧。
教学片段一：新计数单位是怎样产生的？
师：我们已经学习了很多关于自然数的知识，假如你有机会到外星球去游览，那里没有数学知识，你准备怎么向“外星人”介绍自然数呢？
生：自然数都是由0～9的数字组成的。
生：自然数的个数是无限的，数也数不完。
生：满十进一。
师：这些都是关于自然数的重要知识。如果我们要向“外星人”展示我们“地球人”发明自然数的智慧，你认为应当重点介绍什么？
（学生答不出）
师：关于自然数发明中的智慧有很多，我们先从数字说起。（板书1、2、3、4、5、6、7、8、9）这是我们最熟悉的数字。
生：老师，怎么没有0呀？
师：对呀，怎么把O给忘记了。（板书：O）其实O～9这10个数字不是一起发明的，据说“O”的出生要比其他的数字迟3000年。关于这一点，你们有什么话想说的？
生：哇！相差这么多。
生：没有0的时候，人们怎么表示20呢？
生：我知道，没有O的时候，人们要表示102，就在1和2之间空上一格。可是这样很容易把12和102混淆。
师：自然数的发明不仅是一个十分漫长的过程，而且也是一个逐步完善的过程。我们现在对自然数很熟悉了，认为这样表示数是很自然的，因此也很难体会到这是我们祖先的伟大创造。不妨再作一个假设，假如我们祖先发明了0一的数之后，没有想到用10来表示比9大的数，你们看可以怎么办？
生：用一个其他的符号来表示，比如说是▲。
师：如果要表示比▲大1的数呢？
生：用★表示。
生：这样表示很麻烦。
生：再多了不容易记牢。
师：是的，如果没有一定的规则，多1的数就用一个新的符号来表示，那么我们每天都必须带上一本厚厚的数字字典，看到一个数时，就要拿出字典来查一查，看看这个符号表示什么。（学生哈哈笑）
师：（板书10，11，12，13……并与0，1，2，3……上下对齐）我们的祖先没有引入新符号，而是把原来的数字加以重复利用，并且建立了一套重要的规则，这个规则是什么呢？
（小组讨论，汇报）
生：在0的前面加1表示10，在1的前面加1表示11，在2的前面加1表示12。这些数只是十位上多了个1，个位上还是按照O，1，2，3，4……的顺序。 生：十几的数用完了，就把十位上的1换成2，二十几的数用完了，就把十位上的2换成3，这样依次换下去。
师：按照这样的方法，可以很方便地表示出两位数。（出示10×10排列的百数表，即O～99的数从小到大排列，每行10个）在这个数表中，把前一个数加上1就得到后一个数。比较每行最后一个数和下一行第一个数，为什么十位上的数都要加上1呢？
生：因为个位上是9了，比9大1的数是10，满十进一。
师：我们可以把满十进一说得更具体一些。以十几的数为例，十几的数最大的是19，再加1的时候十几的数已经没有办法表示了。只好在十位上加上1。但十位上的1表示的是一个10，是个位上的9和加进来的1凑起来的，所以个位又变成了0。
师：所以说，自然数构成的规则主要有两条：一是把前面一个数加上1得到后一个数。二是满十进一。多数情况下，有了这两条规则就畅通无阻了，可是也有特殊的情况，比如说99再加上1怎么办？
生：个位满十向十位进一，十位满十再向百位进一。
师：也可以这样理解，两位数能表示的最大的数是99，或者说比99多1的数两位数已经没有办法表示了，这时就需要——
生：增加数位。用三位数来表示。
师：这就产生了新的计数单位“百”。你能解释1000是怎么来的吗？
师：有人说十进制记数法是最妙的发明之一，你认为最“妙”的是什么？是发明了10个数字符号还是设计了“满十进一”的规则？
小学数学教材以史料形式介绍了记数法，教学中侧重于数的符号表示与“满十进一”的计数规则，并不重视让学生经历计数单位再创造的思考，学生对自然数构成规则的理解散落在数的认识之中，对位值制思想的认识只是一些没有联系的碎片。事实上，认数教学中位值制思想的缺失，会导致学生建立的数概念缺少文化底色，并可能直接造成学生对数概念理解的缺陷。
在规则变化中感悟思想方法
记数方法的第一项重大成果是位值制的发明。根据位值制的思想，设计不同的记数规则，表示数的方法就不一样。即使现在已经有了完善的十进位值制，二进制、六十进制等仍在广泛使用。简单地说，位值制就是“位置”加“数值”，把握了这两点，可以创造出多样化的表示数的方法。
教学片段二：一个点能表示出多大的数？
师：（在黑板上画一个小圆点）一个点在数学上有很多表示，你能说出一些来吗？
生：小数点，端点，垂足……
生：一个点还可以表示1。
师：（指黑板上的小圆点）如果这个点表示1，那么2怎么表示？
生：用两个点。
师：照这样，可以用3个点表示3，4个点表示4……很多数都可以表示出来，但是比较麻烦。有没有更好的办法？
生：用一个大的点表示10，再用更大的点表示100。
师：这是一个好主意。这里也有一种记数的方法，你们能不能解开这种记数法的密码呢？
学生讨论之后，教师指出一个点在不同位置可以表示不同的数。
师：写出下面图形所表示的数。
师：图②表示是几？
生：1+2+4=7。
师：你能表示出1～7的数吗？
（学生答略）
师：图③表示几？你是怎么想的？
生：图②表示的是7，这三个格子都满了，所以第四个格子可以表示8。
师：（指图②）也就是说，这三个格子能表示的最大的数是7，不能再表示更大的数了，所以第四个格子要表示8，对吗？
生：对。
师：让第四个格子表示9或10行不行？
生：不行！这样8就没办法表示了。
师：在2x2的方格图中，能表示最大的数是多少？
生：15。1+2+4+8=15。
师：在这里，我们也可以把1，2，4，8当作计数单位。如右图：
师：自己想表示几个数，先在图上画点表示，再用加法算式表示出来。
生：如果要表示比15大1的数怎么办？
生：增加格子。
师：下一个格子的计数单位应当是多少？你是怎么想的？
生：16。因为这些计数单位是有规律的，1，2，4，8，16，后一个数是前一个数的2倍。
生：还有，四个格子能表示最大的数是15，下一个格子就是16。
师：16后面的计数单位是什么？
生：（齐说）32，64，128，256，512，1024……
师：把这种记数方法与前面那种1个点表示1，两个点表示2，三个点表示3……方法比一比，你比较喜欢哪一种？为什么？
生：当然是刚才的这一种，这一种简单多了。前面那种一个点只能表示1，这里一个点能表示很大的数。
师：是的，当把点和位置结合起来表示数时，一个点可以表示不同的数。我们学习的十进制记数法也是采用了这样的办法。比如12，2011这两个数中都有2，但由于它们在不同的位置上，表示的大小也不相同。
师：其实用点的位置表示数的方法还有很多。如
师：你能看懂这种表示数的方法吗？
学生解释后，再让他们自己创造一些用点的位置表示数的方法。
仍然需要强调的是，规则才是位值制的核心。一套合适的记数规则包含了不重复、不遗漏等诸多的要求，这需要学生在经历创造的过程中去体会。但事实上，不管是记数方法还是记数规则，都不是越多越好。
把知识“联”起来
一般认为，分数的产生是数概念的一次重要的扩展，而小数的产生并没有什么新的创造。在小数点及其记数系统完善之前，人们早就在使用分数了。为什么有了分数还要发明小数呢？为什么小数的计算比分数更简单？这两个问题的答案是一致的，都是因为十进制小数与整数共享一个位值制，使得整数计算法则可以直接运用到小数计算中来，这给学习小数计算带来了许多便利。张莫宙教授指出，小数是十进制计数向相反方向延伸的结果。对小数意义的学习，应当重视让学生经历从整数扩展到小数的过程，特别是经历对小数计数单位再创造的过程，进而体会小数与整数构成规则的一致性。
师：一个正方形用“1”表示，如果把正方形平均分成10份，1份可以怎样表示？
生：1/10，或者说0.1。
师：2份呢？
生：2/10，0.2。
师：0.2里面有2个0.1，0.1是一个新的计数单位。
师：把正方形平均分成10份，能表示出哪些小数？
生：0.1，0.2，0.3……0.9。
师：这些都是一位小数，它们的计数单位是一样的，都是——
生：0.1。
师：如果要表示两位小数，比如0.03。怎么办？
生：把正方形平均分成100份，1份就是1/100，也是0.01。3个0.01就是0.03。
师：请你在图上先表示出0.01，再表示出0.03。
师：以0.01为单位，你还能表示出哪些数？
通过对正方形进行10等分、100等分的解释和分析，让学生经历计数单位的再创造过程，并在活动中体会小数是十进制记数向相反方向延伸的结果。此外，这种思路暗合了度量不能得到整数结果时需要创造更小的单位，本质上与小数产生的过程是一致的。
弗赖登塔尔指出，学生学习数学唯一正确的方法是“再创造”，也就是由学生自己把要学的东西发现或创造出来，教师的作用在于引导和帮助学生去进行这种再创造，而不是把现成的知识灌输给学生。虽然让学生经历“再创造”的过程不是一件简单的事，但在小学，多数的数学知识都有其产生的实际背景，这有利于教师再现知识的发生过程或创设数学发现的情境。一些重要数学概念的教学，要通过揭示数学家提出数学问题、发现数学结论的思维过程，让学生体会数学概念、数学方法以及数学思想的起源与发展，学习在困境中解决问题的方法与发明创造的智慧，培养学生的创新意识和创新能力。
（作者单位系浙江省杭州新思维教育培训中心）
（责任编辑 钱丽欣）