摘 要：矩阵分解对矩阵理论的发展起了关键作用。所谓矩阵分解就是将一个矩阵写成结构比较简单的或性质比较熟悉的另一些矩阵的乘积。其分解的分解的方法有很多种，但常用的三角分解、QR分解、奇异值分解。关键词：三角分解；QR分解；奇异值分解一、矩阵的三角分解定义：如果方阵A可分解成一个下三角形矩阵L和上三角形矩阵U的的乘积，则称A可作三角分解或LU分解。定理1：高斯消元过程能够进行到底的充分必要条件是A的前n-1个顺序主子式都不为零，即△k ≠0，k=1，2，…，n-1。 （1）当条件（1）满足时，有L（n-1）…L（2）L（1）A=U。其中U为上三角形矩阵L（k）=lik=，i=k+1，…，n。容易得出，detL（k）≠0（k=1，2，…，n-1），故矩阵L（k）可逆，于是有A=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1U。由于（L（K））-1是下三角形矩阵，故它们的连乘积仍然是下三角矩阵。令L=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1=则得A=LU。即A分解成一个单位下三角形矩阵L和一个上三角形矩阵U的的乘积。二、矩阵的QR（正交三角）分解定义：如果实（复）非奇异矩阵A能化成正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR，则称上式为A的QR分解。定理2：任何实的非奇异n阶矩阵A可以分解成正交矩阵Q和上三角形矩阵R的乘积，且除去相差一个对角线元素之绝对值等于1的对角矩阵D外，分解成A=QR是唯一的。矩阵QR的分解具体做法如下：令A的各列向量依次为α1，α2，…，αn，由于A是非奇异的，所以α1，α2，…，αn线性无关，按照施密特正交法正交化得到个标准的正交向量β1，β2，…，βn，且β=bαβ=bα+b22α2┇β=bα+b2nα2+…+bnnαn这里bij都是常数，且由正交化过程知bii≠0（i=1，2，…，n）写成矩阵形式有（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）β，即Q=AB。其中B=是上三角矩阵（bii≠0，i=1，2，…，n）。显然B可逆，而且B=R-1也是上三角矩阵，由于Q的各列标准正交，所以Q正交矩阵，从而有A=QR。三、矩阵的奇异值分解定理3 （奇异之分解定理） 设A是一个m×n的矩阵，且r（A）=r，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得UHAV=（2），其中？撞=diag（1…r），且1≥2≥…≥r≥0。由（2）知A=UVH （3），该式称为A的奇异之分解，r（I=1，2，…，r）称为A的奇异值，U的第i列称为A对应i的左奇异向量，V的第i列称为A对应i的右奇异向量。求解奇异值分解的步骤如下：步骤1：确定？撞，计算AHA，求其特征值λi，可得A的正奇异值i=，i=1，2，…，r，则？撞=diag（1…r），且1≥2≥…≥r≥0。步骤2：确定V，求非零特征值对应的特征向量Pi，将其用Schmidt正交化化为标准正交向量vi（i=1，2，…，r），即得V1=（v1，v2，…，vr）。再取V2与V1的列向量拼成Cn的标准正交基，即得到Vn×n=（v1，…，vr，vr+1，…vn）。步骤3：确定U，求U1∈Cm×r，取V1=（v1，…，vr），∑=diag（1，…，r），计算U1=AV1？撞-1。在Cm中取U2∈Cm×（m-r），使得U1与U2的列向量成Cn的标准正交基，从而U=[U1，U2]为酉矩阵，则A=UVH。参考文献：[1]方保镕，周继东，李医民.矩阵论[M].北京：清华大学出版社，2004.[2]戴华.矩阵论[M].北京：科学出版社，2001.[3]张帆，王金林，鲁力.奇异值分解中的两个酉矩阵的配置[J].高等数学研究，2009（1）.（通渭县常河职业中学）