在初中数学中，求斜三角形面积或者相关问题是一个重点也是难点，求解的方法也比较复杂，常成为竞赛或者中考压轴题.其实解决面积问题,只需三招，下面将结合实例分析.�
【例】 如图1，y=-33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点P（a，12），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值.�
方法一、分割法�
这种方法通常用x轴、y轴或者作x轴、y轴的平行线把一个三角形分成两个三角形，这两个三角形同底，而它们高的和是常数或者可以用同一个变量来表示，从而可以求出斜三角形的面积.�
解：过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交直线AB于点E（如图2）.�
对直线y=-33x+1，令�x=0，�得y=1，则OB=1；令y=0，得x=3，则OA=3,所以AB=2，S��△ABC�=12AB×AC=2.因为 S��△PAB�=S��△PEB�+S��△PEA�，所以S��△PEB�+S��△PEA�=S��△ABC�=2，即12PE×BD+12PE×OD=12PE×OB=2
，把y=12代入y=-33x+1得x=32，PE=32-a，所以12×(32-a)×1=2，解得a=3-82.�
类似地，△PBA的面积也可以竖直地进行分割，以y轴为分割线把△PBA分割成△PBD和△ABD，解决问题的方法类似.�
从两种分割方法的比较中，不难发现，水平分割法求面积比较简洁，讨论类似问题时要注意适当选用分割方法.�
方法二、补形法�
这种方法通常作辅助线，把原三角形补成面积易求的图形，利用图形面积差来解决问题，方法是补形后的图形的底或高在坐标轴上或与坐标轴平行.�
解：连结OP（如图3）,因为S��△PBA�=S��△OAB�+S��△OBP�-S��△OAP�，所以12×OA×OB+12OB×�|P�x|-12OA�×|P�y|=2（其中P�x、P�y分别表示点P的横坐标和纵坐标），即12×1×3+12×1×(-a)-12×3×12=2，解得a=3-82.�
方法三、构造法�
原三角形是一个斜三角形，它的面积比较难求，所以可以考虑构造一个与之面积相等的新三角形，而新三角形的面积是易于求解的，构造的方法是：作原三角形底边的平行线，利用同底等高的三角形面积相等来构造新的三角形.�
解：过点P作PD∥AB，交y轴于点D（如图4）.�
设PD：y=-33x+b，把点�P（a，12）代�入解析式，b=12+3a3，所以BD=12-3a3.而△PAB与△DAB同底等高，所以S��△PAB�=S��△DAB�=S��△ABC�=2，即�12BD×�OA=2，12(12-3a3)×3=2,解得a=3-82.�
分割、补形或者构造是求斜三角形面积的常见三种求法，细细体会三者的联系和区别，将使我们对于问题的本质认识更加清晰，思维也就有了质的飞跃.正如华罗庚先生所言：“不断积累,飞跃必来,突破随之.”�
【牛刀小试】在直角坐标系中(如图5)，点B的坐标为(－3，－4)，线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．�
(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式；�
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC＋OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；�
(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积．�
解：（1）A（5，0），设y=�ax（x-5）�，将点B（-3，-4）代入解析式得a=-16，所以经过A、O、B三点的解析式为y=-16x�2+56x.�
（2）抛物线的对称轴为直线x=52，点O关于x轴的对称点为点A，连结AB，交直线x=52于点C，此时BC+OC的值最小.�
设AB：y=kx+b，把A（5，0）、B（-3，-4）代入解析式得
5k+b=0，�-3k+b=-4，解得k=12，b=-52.
�所以直线AB的解析式为y=12x-52.当x=52时，y=-54，所以C（52，-54）.�
（3）过点P作y轴的平行线，交直线AB于点D.设P（m，-16m�2+56m），则点D（m，12m-52），PD=(-16m�2+56m)-(12m-52)=-16m�2+13m+52.
�因为
S��△PAB�=S��△PAD�+S��△PBD�=12PD×AE+12PD×BF=12PD(AE+BF),
�所以S��△PAB�=12×8×(-16m�2+13m+52)=-�23m�2+�43m+10=-23(m-1)�2+323
,此时m=1，点P的坐标为（1，23），△PAB的面积最大值为323.�
(责任编辑 金 铃）