摘?要 作为一种固体力学数值算法，加权余量法非常重要，无网格法、有限元法和边界元法等岩土工程计算算法，都是以基于加权余量法发展衍生的。本文基于笔者多年以来对固体力学计算方法的研究，详细的介绍了加权余量法的原理，分析了其应用状况，阐述了该方法应用于固体力学的如何选择权函数和试函数，以便为诸多研究提供参考。
关键词 加权余量法；固体力学；权函数；试函数
中图分类号 O34 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-（2012）111-0121-01
1 概述
早期，加权余量法仅仅适用于传热、流体力学等学科领域，迄今为止，其在固体力学中已经得到了深层次的应用和发展。在固体力学计算方法中，加权余量法是一种通用的数值计算方法，也是一种基于等效积分形式的类似计算方法，在求解非线性和线性微分方程使，其非常的有效。在加权余量法发展研究过程中，基于该方法衍生了很多适应于具体应用场景的数值计算方法，包括无网格法、边界元法和有限元法，这三种计算方法因其适应环境不同而各具特色，目前已经逐渐的发展成为一种独立的方法。本文基于笔者对加权余量法和固体力学计算方法的研究，详细的阐述了加权余量法的原理，分析了其应用状况，归纳该方法应用于固体力学的如何选择权函数和试函数等内容。
2 背景理论
在工程科学计算领域中求解问题时，问题的最终解决方法通常是将其归结为求解具有初始条件和约束条件的微分方程组。数学理论上，许多学者将微分方程形式称之为强形式，而在求数值解时，人们通常把微分方程的相关边界约束条件转换为变分形式；一些学者将微分方程等效为积分形式时，通常将其称之为弱形式，在一些文献中也存在一些学者将其称为积分提法[4]、伽辽金方程、变分方程和加权余量方法。本文将详细的讨论求解数值时的加强余量法。
3 加权余量法的应用
3.1 权余余量法的实施过程
目前，针对工程或者物理学中产生的问题，人们通常针对其进行建模，抽象出来边界约束条件，将其归纳为微分方程，将其表示为未知函数u应该满足微分方程组，其一般形式如3.1所示。
（3.1）
（3.2）
域Ω根据问题的背景，可以是面积域，也可以是体积域，同时未知函数u还应满足边界条件：Γ表示域Ω的边界约束条件。在求解域Ω时，如果场函数U取精确解时，则在域内，其任一点都要满足微分方程（3.1），同时，其在边界Γ上的任一点也都要满足边界约束条件（3.2）。但是，对于固体力学中的许多实际问题，其非常复杂，精确解通常难以获得，因此，在一定精度的条件下寻找近似解成为诸多学者研究的热点。
针对微分方程（3.1）和边界约束条件（3.2）表示的问题，其未知函数U可以采用近似函数表示，近似函数中包含有未知参数，其形式为公示（3.3）。
（3.3）
在公示3.3中，Ni是试探函数的已知函数，ai表示待定参数，其中，Ni取自完全函数系列，完全函数系列是指任一函数都可以使用该序列表示，其是线性独立的，近似函数通常要满足边界约束条件和连续性的要求。当n取值有限时，近似解无法满足微分方程（3.1）和边界约束条件（3.2），导致余量R，产生，其中，R和又被称为残差。其近似的等效积分形式可以表示为（3.5）：
（3.5）
将其写成余量形式（3.6）：
（3.6）
在公示3.5和3.6中，w、被称为权函数，两公式的含义是通过寻找待定系数ai，强迫余量在某种平均意义上取值为零，这样就可以得到一组方程，求解待定系数a，从而得到问题的近似解。
3.2 权函数的选择
在进行固体力学数值计算时，加权余量法是求解微分方程的一种非常有效的方法，因此，任何独立的完全函数都可以被选择作为权函数。通常情况下，一般经常使用的权函数选择方法包括以下五种，分别是子域法、最小二乘法和伽辽金法。
1）子域法
该方法使得在n个子域Ωj外，wj=0，在子域Ωj内，wj=I，其实质是迫使余量在n个子域上的积分取值为零。
2）最小二乘法
对于加权余量法来讲，其微分方程的近似解取值为时，权函数，该方法的实质
是使得的取值最小，也即是满足
（i=1，2，3，…，n）。
3）伽辽金法
该方法对于许多学者都很熟悉，根据加权余量法的观点可以解释为使用伽辽金法时，其权函数和试函数的均取自同一系列的函数。
3.3 试函数的选择
在加权余量法应用时，选择一个合适的试函数同样非常重要，试函数在选择时应该满足一下要求：必须是完备的，并且各个试函数项之间线性无关。基于通常使用状况，发现试函数的选择可以报考三类：1）三角级数；2）多项式；3）样条函数，通常是三次或者五次样条函数。
4 结束语
在工程科学计算领域中求解问题时，问题的最终解决方法通常是将其归结为求解具有初始条件和约束条件的微分方程组。本文详细的介绍了加权余量法在固体力学中的应用现状，并且详细的分析了如何选择权函数和试函数。随着固体力学的发展，许多学者对加权余量法进行了追踪研究，基于不同的适应环境，改进得到了更加具有针对性的数值计算方法。在未来的时间内，随着多学科的共同高速发展，固体力学计算方法必将得到更大的
突破。
参考文献
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[5]鲁建霞，苟惠芳.有限元法的基本思想与发展过程[J].机械管理开发，2009，02.
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作者简介
王难烂，女，汉族，讲师，武汉科技大学理学院。